Um sistema de três partículas consiste de massas m, e coordenadas ( x 1 , x 2 , x 3 )   como segue:

Determine o tensor de inércia, os eixos principais e os momentos de inércia principais.

Passo 1

Podemos obter os elementos do tensor de inercia pela equação abaixo:

I 11 = ∑ a m a ( x a , 2 2 + x a , 3 2 )

I 11 = 3 m ∙ b 2 + 4 m ∙ 2 b 2 + 2 m ∙ b 2 = 13 m b ²    

De modo semelhante podemos encontrar I 22 = 16 m b ² e I 33 = 15 m b ²

I 12 = I 21 = - ∑ a m a   x a , 1 x a , 2

I 12 = I 21 = - 4 m ∙ b 2 - 2 m ∙ - b 2 = - 2 m b ²

Semelhantemente:

I 13 = I 31 = m b 2

I 23 = I 32 = 4 m b ²

Assim o tensor de inercia é:

I = m b 2 13 - 2 1 - 2 16 4 1 4 15  

Passo 2

Os momentos de inercia principais podem ser obtidos resolvendo:

m b 2 13 - λ - 2 1 - 2 16 - λ 4 1 4 15 - λ = 0

Expandindo a determinante temos uma equação cúbica:

λ 3 - 44 λ 2 + 622 λ - 2820 = 0

Resolvendo numericamente, temos:

λ 1 = 10 ,                         λ 2 = 14,35 ,     λ 3 = 19,65    

Dessa forma os momentos de inercia principais são:

I 1 = 10 m b 2 ,     I 2 = 14,35 m b 2 ,     I 3 = 19,65 m b 2

Passo 3

Por fim para encontrar os eixos principais:

13 - λ 1 ω 1 i - 2 ω 2 i + ω 3 i = 0

- 2 ω 1 i + 16 - λ i ω 2 i + 4 ω 3 i = 0

ω 1 i + 4 ω 2 i + 15 - λ i ω 3 i = 0

Pelo Passo 2 temos que para i = 1 , logo λ = 10 , assim:

3 ω 11 - 2 ω 21 + ω 31 = 0

- 2 ω 11 - 6 ω 21 + 4 ω 31 = 0

ω 11 - 4 ω 21 + 5 ω 31 = 0

Resolvendo a primeira para ω 31 e substituindo na segunda temos:

ω 11 = ω 21

Substituindo na terceira, agora:

ω 31 =   - ω 21

Dessa forma:

ω 11   :   ω 21   :   ω 31 = 1   : 1   :   - 1

Dessa forma os principais eixos são dados por:

i = 1 :                                               1 3 x + y + z

i = 2 :         - 0,81 x + 0,29 y + 0,52 z

i = 3 :                 0,14 x + 0,77 y + 0,63 z

E assim podemos perceber que os eixos principais são mutuamente ortogonais, como realmente deveriam ser.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)