Trate o problema da propagação de onda ao longo de um fio carregado com partículas de duas massas diferentes, m ' e m ' ' , ", que se alternam em localização, isto é,

m j = m ' , p a r a   j   p a r m ' ' p a r a   j   i m p a  

Mostre que a curva ω - k possui duas seções neste caso e mostre que há atenuação para frequências entre as seções assim como para as frequências acima da seção superior.

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??

Como dito:

m j =   m ' , j = 2 n m ' ' j = 2 n + 1                       ( 0.1 )

Quando j é inteiro.

Conforme a formula dada em 12.9:

F 2 n = m q 2 n ' ' = τ d q 2 n - 1 - 2 q 2 n + q 2 n + 1                 ( 0.2 )

F 2 n + 1 = m q 2 n + 1 ' ' = τ d q 2 n - 2 q 2 n + 1 + q 2 n + 2                 ( 0.3 )

Admitamos solução da seguinte forma:

q 2 n = A e i ω t - 2 n k d                 ( 0.4 )

q 2 n + 1 = B e i ω t - 2 n + 1 k d                 ( 0.5 )

Assim, substituindo:

- ω 2 A = τ m ' d ( B e i k d - 2 A + B E - i k d                 ( 0.6 )

- ω 2 B = τ m ' ' d A e i k d - 2 B + A e - i k d                 ( 0.7 )

Desse modo:

A 2 τ m ' d - ω 2 - B 2 τ m ' d cos ⁡ k d = 0                 ( 0.8 )

- A 2 τ m ' ' d cos ⁡ k d + B 2 τ m ' ' d - ω 2 = 0                 ( 0.9 )

A solução dessa EDO acoplada é solucionada daquela forma que já, sabemos achemos o determinante igualando à zero. Fazendo isso, obtemos a seguinte equação:

2 τ m ' d - ω 2 2 τ m ' ' d - ω 2 - 1 m ' m ' ' 2 τ k cos ⁡ k d 2 = 0                 ( 1.1 )

Isolando ω 2

ω 2 = τ d 1 m ' + 1 m ' ' ± 1 m ' + 1 m ' ' 2 - 4 m ' m ' ' sin ' ⁡ k d 1 2                 ( 1.2 )

Devido ao sinal, temos duas soluções:

ω 1 2 = τ d 1 m ' + 1 m ' ' + 1 m ' + 1 m ' ' 2 - 4 m ' m ' ' sin ' ⁡ k d 1 2                 ( 1.3 )

ω 2 2 = τ d 1 m ' + 1 m ' ' - 1 m ' + 1 m ' ' 2 - 4 m ' m ' ' sin ' ⁡ k d 1 2                 ( 1.4 )

Se m ' < m ' ' , e também definamos:

ω a = 2 τ m ' ' d ,         ω b = 2 τ m ' d ,       ω c = ω a 2 + ω b 2                 ( 1.5 )

Fazendo um gráfico de ω × k , temos o seguinte gráfico:

Mostramos, como pedido, que há duas seções. Agora vamos achá-las?

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Da equação 1.5 e 1.1, temos:

sin 2 ⁡ k d = ω 2 ω a 2 ω b 2 ω a 2 + ω b 2 - ω 2 ≡ W ω                 ( 1.6 )

Da figura obtemos que par ω > ω c e ω a < ω < ω b , k é um valor complexo. Assim, façamos:

k = α + i β

De modo que:

sin 2 ⁡ α + i β d   = sin 2 ⁡ α d cosh 2 ⁡ β d - cos 2 ⁡ α d sinh 2 ⁡ ( β d ) + 2 i   sin ⁡ α d cos ⁡ α d sinh ⁡ β d cosh ⁡ β d = W ω                 ( 1.7 )

Equacionando a parte real e parte imaginaria:

sin ⁡ α d cos ⁡ α d sinh ⁡ β d cosh ⁡ β d = 0

sin 2 ⁡ α d cosh 2 ⁡ β d - cos 2 ⁡ α d sinh 2 ⁡ β d = W ω

Passo 3

Cujas soluções que satisfazem essas equações são:

  1. Para sin ⁡ α d = 0 → cos ⁡ α d = 1 para α = 0 , então β é determinado pela equação 1.7 é:
  2. - sinh 2 ⁡ β d = W ω

    De forma que ω > ω c é imaginário nessa região.

  3. Para cos ⁡ α d = 0 ,   com α = π 2 d , de forma que sin ⁡ α d = 1   e cosh 2 ⁡ β d = W ω . Portanto ω b < ω < ω c , e α é constante na região com valor de α = π 2 d   .
  4. Para sinh 2 ⁡ β d = 0 , com β = 0 . De forma que sin 2 ⁡ α d = W ω , Portanto ω < ω a ou ω b < ω < ω c e α é real nessa região.

Resposta

A resolução está no passo-a-passo.