A treliça tridimensional está apoiada nas seis reações da figura. Se uma carga vertical de 2,70   k N é aplicada em A, determine (a) as reações e (b) a força em cada barra.

Passo 1

Falaiii meus xuxu’s, ceis tão bonzinho??

Espero que sim hein, bora lá pra mais uma?

Encostaaaa

Vamos inicias desenhando o diagrama de corpo livre da treliça conforme mostrado a seguir:

Passo 2

  1. Calcularemos o vetor unitário de CD da seguinte maneira
  2. λ = C D C D

    λ = 1.2   k 1.2 2

    λ = 1   k

    Agora iremos calcular as reações aplicando a equação de equilíbrio da seguinte maneira

    ∑ M C D = 0

    λ C D ⋅ - 2700 j × A D + B z k × B D + B y j × B D = 0

    λ C D ⋅ - 2700 j × ( 1 i - 1.5 j + 0.6 k ) + B z k × ( 1.8 i + 0.6 k ) + B y j × ( 1.8 i + 0.6 k ) = 0

    Substituindo λ = 1 k

    1 k ⋅ - 2700 j × ( 1 i - 1.5 j + 0.6 k ) + B z k × ( 1.8 i + 0.6 k ) + B y j × ( 1.8 i + 0.6 k ) = 0

    1 k ⋅ - 2700 k - 1620 i + 1.8 B z j + - 1.8   B y k + 0.6   B y i = 0

    - 1.8   B y + 2700 = 0

    B y = 1500   N

    Portanto, a reação em B, B y   é   d e   1500   N .

    Calculando as reações aplicando a equação de equilíbrio da seguinte maneira

    ∑ F z = 0

    B z = 0

    Portanto, a reação em B, B z   é   0   N

    Passo 3

    Agora iremos calcular as reações aplicando a equação de equilíbrio da seguinte maneira

    ∑ M D = 0

    - 2700 j × A D + B z k × B D + B y j × B D + C y j × C D + ( C x i × C D ) = 0

    - 2700 j × ( 1 i - 1.5 j + 0.6 k ) + B z k × ( 1.8 i + 0.6 k ) + B y j × ( 1.8 i + 0.6 k ) + C y j × 1.2 k + C x i × 1.2   k = 0

    Substituindo B z   p o r   0   e   B y   p o r   1500 ,   t e m o s :

    - 2700 j × ( 1 i - 1.5 j + 0.6 k ) + 0 k × ( 1.8 i + 0.6 k ) + 1500 j × ( 1.8 i + 0.6 k ) + C y j × 1.2 k + C x i × 1.2   k = 0

    - 2700 k - 1620 i - 2700 k + 900 i + 1.2 C y i - 1.2   C x j = 0

    Igualando a componente j da seguinte maneira :

    - 1.2 C x   = 0

    C x = 0

    Igualando a componente i da seguinte maneira :

    - 1620 + 900 + 1.2 C y   = 0

    C y = 600   N

    Portanto, a reação em C, C x = 0 e C y = 600   N

    Calculando as reações aplicando a equação de equilíbrio da seguinte maneira

    ∑ F x = 0

    C x + D x = 0

    0 + D x = 0

    D x = 0

    Calculando as reações aplicando a equação de equilíbrio da seguinte maneira

    ∑ F y = 0

    B y + C y + D y = 0

    1500 + 600 + D y = 0

    D x = - 2100   N

    Portanto, a reação em D, D x = 0 e D y = - 2100   N

    Passo 4

  3. Iremos desenhar o diagrama de corpo livre do ponto D como mostra a figura a seguir

Vamos calcular a força AD da seguinte maneira

F A D = F A D 1 i - 1.5 j + 0.6 k 1 2 + 1.5 2 + 0.6 2

= F A D 1.9 ( 1 i - 1.5 j + 0.6 k )

Calculando a força BD da seguinte maneira

F B D = F B D 1.8 i + 0.6 k 1.8 2 + 0.6 2

= F B D 1.898 ( 1.8 i + 0.6 k )

Calculando a força no membro AD aplicando a equação de equilíbrio para o nó D como mostra a seguir:

∑ F y = 0

F A D 1.9 × - 1.5 - D y = 0

Substituindo

F A D 1.9 × - 1.5 - ( - 2100 ) = 0

F A D = 2660   N

Portanto, a força no membro AD, F A D = 2660   N   ( T ) .

Calculando a força no membro BD aplicando a equação de equilíbrio para o nó D como mostra a seguir:

∑ F x = 0

F A D 1.9 × 1 + F B D 1.898 × 1.8 - D x = 0

Substituindo

2660 1.9 × 1 - F B D 1.898 × 1.8 - 0 = 0

F B D = - 1476.2   N

Portanto, a força no membro BD, F B D = 1476.2   N   ( C ) .

Calculando a força no membro DC aplicando a equação de equilíbrio para o nó D como mostra a seguir:

∑ F z = 0

F A D 1.9 × 0.6 + F B D 1.898 × 0.6 - F D C = 0

Substituindo

2660 1.9 × 1 - 1476.2 1.898 × 0.6 - F D C = 0

F D C = 373.34   N

Portanto, a força no membro DC, F B D = 373 . 34     N   ( T ) .

Passo 3

Vamos desenhar o diagrama de corpo livre como mostra a figura a seguir na junta C.

Vamos calcular a força AC da seguinte maneira

F A C = F A C 1 i - 1.5 j - 0.6 k 1 2 + 1.5 2 + 0.6 2

= F A D 1.9 ( 1 i - 1.5 j - 0.6 k )

Calculando a força BC da seguinte maneira

F B C = F B C 1.8 i - 0.6 k 1.8 2 + 0.6 2

= F B D 1.898 ( 1.8 i - 0.6 k )

Calculando a força no membro AC aplicando a equação de equilíbrio para o nó C como mostra a seguir:

∑ F y = 0

F A C 1.9 × - 1.5 - C y = 0

Substituindo

F A C 1.9 × - 1.5 - ( 600 ) = 0

F A C = - 760     N

Portanto, a força no membro AC, F A C = 760   N   ( C ) .

Calculando a força no membro BC aplicando a equação de equilíbrio para o nó C como mostra a seguir:

∑ F x = 0

F A C 1.9 × 1 + F B C 1.898 × 1.8 - C x = 0

Substituindo

- 760 1.9 × 1 - F B C 1.898 × 1.8 - 0 = 0

F B C = 420   N

Portanto, a força no membro BD, F B C = 420   N   ( T ) .

Passo 4

Vamos desenhar o diagrama de corpo livre como mostra a figura a seguir na junta B.

Vamos calcular a força BD da seguinte maneira

F B D = F B D 1.8 i + 0.6 k 1.8 2 + 0.6 2

= F B D 1.898 ( 1.8 i + 0.6 k )

Vamos calcular a força BC da seguinte maneira

F B C = F B C 1.8 i - 0.6 k 1.8 2 + 0.6 2

= F B C 1.898 ( 1.8 i - 0.6 k )

Vamos calcular a força BA da seguinte maneira

F B A = F B A 0.8 i + 1.5 j 0 . 8 2 + 1.5 2

= F B A 1.7 ( 0.8 i + 1.5 j )

Vamos calcular a força no membro AB aplicando a equação de equilíbrio para o nó B como mostra a seguir

∑ F y = 0

F B A 1.7 × 1.5 - B y = 0

Substituindo

F A C 1.7 × 1.5 - ( 1500 ) = 0

F A C = 1700     N

Portanto, a força no membro BA, F B A   é   1700   N   ( T ) .

Resposta

  1. Portanto, a reação em B, B y   é   d e   1500   N .
  2. Portanto, a reação em B, B z   é   0   N .

    Portanto, a reação em C, C x = 0 e C y = 600   N .

    Portanto, a reação em D, D x = 0 e D y = - 2100   N .

  3. Portanto, a força no membro AD, F A D = 2660   N   ( T ) .

Portanto, a força no membro BD, F B D = 1476.2   N   ( C ) .

Portanto, a força no membro DC, F B D = 373.34     N   ( T ) .

Portanto, a força no membro AC, F A C = 760   N   ( C ) .

Portanto, a força no membro BA, F B A   é   1700   N   ( T ) .