Enunciado

Três placas de aço, cada uma com 20   m m   x   140   m m de seção transversal, são soldadas juntas formando uma coluna curta, como indicado. No entanto, por razões arquitetônicas, um pedaço de 20 m m é removido de cada lado, de uma das abas. Sabendo-se que a carga permanece centrada, em relação a seção transversal original, e que a tensão admissível é de 150   M p a , determinar a maior força P que:

  1. Pode ser aplicada á coluna original;
  2. Pode ser aplicada a coluna modificada.

Passo 1

Nosso objetivo é determinar a carga P máxima que pode ser aplicada a nossa seção. Sabemos que a tensão pode ser definida pela seguinte equação:

σ x = - P A - M y I

Para o item A, como a seção original é simétrica, não precisamos da LN, precisamos do momento de inercia, assim podemos calcular da seguinte maneira:

Passo 2

Vamos definir primeiro o momento de inércia e y teremos que:

  • I

    Para ele precisamos fazer a seguinte relação.

    • Numeração das regiões
    • Olha como esse macetinhos nos ajuda bastante.

    • Área das regiões
    • Distância do centroide das áreas até a LN – aqui que vamos precisar da nossa LN
    • Momento de inércia de cada região
  • Agora para determinarmos o momento de inércia, precisamos fazer a seguinte conta:

    I = ∑ I i + A i d i 2

    Mas temos que lembrar que precisamos usar os valores de inercia da região 6 como negativa, sendo assim temos que:

    I = I 1 + A 1 d 1 2 + I 2 + A 2 d 2 2 + I 3 + A 3 d 3 2

    I = 93333 + 2800   .     80 2 + 4573333 + 93333 + 2800   .   80 2

    I = 40600000   m m 4

    Agora só precisamos determinar os valores de y, sendo assim teremos que ver o próximo passo.

    Passo 3

    Tendo o valor de y precisamos usar a tensão, sendo assim teremos que:

  • y - positivo e negativo
  • Como a carga é centrada, não teremos a formação de momentos fletores. E se não tivermos a formação de momentos fletores, podemos ver a nossa tesnão da seguinte maneira

    σ x = P A

    σ S = P 3   .     2800

    Sabemos que a tensão admissível é dada por:

    150 = P 3   .     2800

    P = 1260000 = 1260   k N

    Passo 3

    Para o item B, precisamos tirar 20 mm de cada aba da face inferior, e com isso passamos a ter uma nova seção, e para essa nova seção precisamos de algumas coisas.

    Precisamos da LN para determinarmos tudo que precisamos, momento fletor, o valor de y e o valor do momento de inércia, com isso podemos seguir o seguinte passo a passo para termos a LN:

    • Vamos dividir em seções mais simples, e numerar elas:
    • As áreas são:
    • Em terceiro, precisamos determinar uma origem, porque vai ser com relação com essa origem que vamos determinar a distância dos centroides de cada um dos elementos mais simples. Eu geralmente uso a base do elemento como origem, sendo assim teremos que:
    • Por fim precisamos usar a seguinte fórmula para determinar a LN, sendo assim teremos que:

    y - = ∑ A i y - i ∑ A i

    Com isso teremos que:

    y - = A 1 y - 1 + A 2 y - 2 + A 3 y - 3 A 1 + A 2 + A 3

    Substituindo teremos que:

    y - = 2 8 0 0   .   1 70   + 2 8 0 0   .     9 0 + 2 0 00   .     1 0   2 8 0 0 + 2 8 0 0 + 2000

    y - = 98,42   m m  

    E assim temos que:

    Passo 2

    Vamos definir primeiro o momento de inércia e y teremos que:

  • I

    Para ele precisamos fazer a seguinte relação.

    • Numeração das regiões
    • Olha como esse macetinhos nos ajuda bastante.

    • Área das regiões
    • Distância do centroide das áreas até a LN – aqui que vamos precisar da nossa LN
    • Momento de inércia de cada região
  • Agora para determinarmos o momento de inércia, precisamos fazer a seguinte conta:

    I = ∑ I i + A i d i 2

    Mas temos que lembrar que precisamos usar os valores de inercia da região 6 como negativa, sendo assim temos que:

    I = I 1 + A 1 d 1 2 + I 2 + A 2 d 2 2 + I 3 + A 3 d 3 2

    I = 93333 + 2800   .     71,58 2 + 4573333 + 2800   .   8,42 2 + 66667 + 2000   .   88,42 2

    I = 34914386   m m 4

    Agora só precisamos determinar os valores de y, sendo assim teremos que ver o próximo passo.

    Passo 3

    Tendo o valor de y precisamos usar a tensão, sendo assim teremos que:

  • y - positivo e negativo

E para calculo de momentos fletores temos que detemrinar a excentricidade, sendo assim teremos que:

M = - P   x   e

M = - P   x 98,42 - 90 = - 8,42 P   N m m

Substituindo nas tensões teremos que:

σ x = - P A - M y I

σ S = - P 7600 - - 8,42 P 81,58 34914386

σ I = - P 7600 - - 8,42 P - 98,42 34914386

Sabemos que a tensão admissível é dada por:

σ S = - P 7600 - - 8,42 P 81,58 34914386

150 = - 1,32   .     10 - 4 P + 1,97   .   10 - 5 P

150 = - 1,12   .     10 - 4 P

P = - 1339286   N = - 1339   k N

σ I = - P 7600 - - 8,42 P - 98,42 34914386

150 = - 1,32   .     10 - 4 P - 2,37   .   10 - 5 P

150 = - 1,56   .     10 - 4 P

P = - 96 5785   N = - 965,8   k N

Como queremos a máxima carga que pode ser aplicada, devemos tomar o cuidado de usarmos a menor carga, porque pense da seguinte maneira. Se usarmos a máxima carga, ela irá romper a menor seção, porém se usarmos a menor carga, ela irá manter tanto a maio tensão quanto a menor tensão, sendo assim teremos que:

P = - 96 6   k N

Resposta

P = - 96 6   k N

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