Enunciado

O tubo de aço está engastado em ambas as extremidades. Se tiver 4   m de comprimento e diâmetro externo de 50   m m , determine a espessura exigida para que possa suportar uma carga axial P = 100   k N sem sofrer flambagem. E a ç o = 200 G P a   e σ e = 250   M P a .

Passo 1

Fala aí pessoal, vamos para mais um exercício de resmat. O enunciado quer a espessura da parede do tubo, para que ele suporte uma carga de 100kN sem flambar. Quando a gente fala de suportar sem flambar, a gente ta falando da carga crítica. Então qual a espessura da parede, para que a carga crítica seja de pelo menos 100kN?

Pra relacionar as incógnitas que a gente tem e as que a gente quer, vamos usar a fórmula pra carga crítica:

P c r = π 2 E I k L 2

A gente já tem:

P c r = 100 × 10 3   N

E =   200 × 10 9   P a

L = 4 m

Presta atenção em quais tem que ser as unidades!

Pelo tubo estar engastado nas extremidades:

k = 0,5

Então só ficou faltando o momento de inércia, que é onde vai aparecer a espessura da parede! A equação do momento de inércia para um tubo é dada por :

I = π 4 R e 4 - R i 4    

I = π 4 0,05 4 - 0,05 - e 4

A espessura da parede é a diferença entre o raio externo Re e o raio interno Ri.

Passo 2

Agora que temos todos os valores e a fórmula pro momento de inércia, vamos substituir na expressão da carga crítica.

P c r = π 2 E I k L 2

100 × 10 3 = π 2 ×   200 × 10 9 0,5 × 4 2 × π 4 0,05 4 - 0,05 - e 4

2,58 × 10 - 7 = 0,05 4 - 0,05 - e 4

e = 5,2421 × 10 - 4   m

Passo 3

Por fim, para sabermos se a carga de 100kN é realmente aceitável, precisamos verificar se a tensão causada por essa força não excede a tensão de escoamento do material. Mesmo que o enunciado não tenha pedido isso diretamente, é sempre bom fazer porque não adianta nada se a coluna não flambar, se ela escoa. Além disso, embora não tenha sido pedido diretamente, o enunciado deu pra gente o valor da tensão de escoamento do material, que só serve pra isso mesmo. Então já é uma dica que é pra fazer!

A tensão crítica é:

σ c r = P c r A σ c r = 100 × 10 3 π ( 0,0 25 2 - 0,0495 2 ) = 1 7439249   P a = 17,4   M P a

Portanto, como 17,4   M P a < σ e a ç o = 250   M P a , este valor antende as limites de escoamento.

Resposta

e = 5,2421 × 10 - 4   m

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