A unidade comum de energia usada em física atômica e nuclear é o elétron volt ( e V ) , a energia adquirida por um elétron em queda por uma diferença de potencial de um volt: 1   M e V = 10 6 e V = 1,602   × 10 - 13   J . Nessas unidades, a massa de um elétron é m e c 2 = 0,511   M e V e a de um próton é m p c 2 = 938   M e V . Calcule a energia cinética e as quantidades β e γ para um elétron e para um próton, cada um tendo uma quantidade de movimento de 100   M e V / c . Mostre que o elétron é "relativístico", enquanto o próton é "não relativístico”

Passo 1

Faala meu povo, bora com tudo pra mais uma questão do nosso livro!

Primeiramente temos que a energia total de uma partícula com massa m é dada por:

E 2 = p 2 c 2 - E 0 2

Onde E 0 é a massa de repouso da partícula. A energia total é igual à energia de repouso, além da energia cinética, que é E = E 0 + T substituto para obter:

E 0 + T 2 - E 0 2 = p 2 c 2

Ou,

T 2 + 2 E 0 T - p 2 c 2 = 0

Esta equação é uma equação quadrática de T , que tem duas raízes, que são:

T = - 2 E 0 ± 4 E 0 2 + 4 p 2 c 2 2

Como a energia cinética é positiva vamos tirar a raiz positiva, ou seja:

T = E 0 2 + 4 p 2 c 2 - E 0

Precisamos calcular a energia cinética de um elétron e próton se cada um tem um momento de 1000   M e V / c , então substituímos por p c = 100   M e V e com as energias de repouso E 0 e l é t r o n = 0,511   M e V e E 0 p r ó t o n = 938,26   M e V , então:

T e l é t r o n = 0,511   M e V 2 + 100   M e V 2 - ( 0,511   M e V )

T e l é t r o n = 99,5   M e V

E para o próton temos:

T p r ó t o n = 938,26   M e V 2 + 100   M e V 2 - ( 938,26   M e V )

T p r ó t o n = 5,31   M e V

Passo 2

Agora temos que a energia cinética relativista é dada por:

T = γ - 1 m c 2 = ( γ - 1 ) E 0

Escrevemos γ para obter:

γ = T E 0 + 1

Então para o elétron temos:

γ e l é t r o n = 99,5   M e V 0,511   M e V + 1 = 195,7

γ e l é t r o n = 195,7

Mas,

γ = 1 1 - β 2 → β = 1 - 1 γ 2

Então, temos:

β e l é t r o n = 1 - 1 γ e l é t r o n 2 = 1 - 1 195,7 2 = 0,999987

β e l é t r o n = 0,999987

E para o próton temos:

γ p r ó t o n = 5 , 31   M e V 938,26   M e V + 1 = 1 , 00566

γ p r ó t o n = 1,00566

E então,

β p r ó t o n = 1 - 1 γ p r ó t o n 2 = 1 - 1 1,00566 2 = 0 , 106

β p r ó t o n = 0,106

Podemos ver então que o próton tem uma velocidade não relativística.

Finalizamos aqui nossa questão, tranquilo? Te vejo na próxima!

Resposta

T e l é t r o n = 99,5   M e V

γ e l é t r o n = 195,7

β e l é t r o n = 0,999987

T p r ó t o n = 5,31   M e V

γ p r ó t o n = 1,00566

β p r ó t o n = 0,106