Enunciado

Usando o círculo de Mohr, demonstre que a expressão I x ' I y ' - I x ' 2 I y ' , é independente da orientação dos eixos x ' e y ' , onde I x ' , I y ' e I x ' y ' , representam , respectivamente, os momentos e o produto de inércia de uma superfície em relação a um par de eixos retangulares x ' e y ' passando por um dado ponto O . Mostre também que a expressão dada é igual ao quadrado do comprimento da tangente traçada da origem do sistema de coordenadas ao círculo de Mohr.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

O circulo de Mohr abaixo desmonstra a situação:

Temos que:

I x ' = I m é d + R cos ⁡ 2 θ

I y ' = I m é d - R cos ⁡ 2 θ

I x ' y ' = R sen ⁡ 2 θ

Para demonstrar I x ' I y ' - I x ' 2 I y ' , vamos substituir as relações acima:

I x ' I y ' - I x ' 2 I y ' = I m é d + R cos ⁡ 2 θ I m é d - R cos ⁡ 2 θ - I m é d + R cos ⁡ 2 θ 2 I m é d - R cos ⁡ 2 θ

I x ' I y ' - I x ' 2 I y ' = I m é d 2 - R 2 cos 2 ⁡ 2 θ - R 2 sen 2 ⁡ 2 θ

I x ' I y ' - I x ' 2 I y ' = I m é d 2 - R 2 cos 2 ⁡ 2 θ + sen 2 ⁡ 2 θ

Como cos 2 ⁡ 2 θ + sen 2 ⁡ 2 θ = 1 é constante, temos que I x ' I y ' - I x ' 2 I y ' é independente do ângulo do eixo.

Podemos observar também que a tangente L , analisando geometricamente, pode ser tratada como:

R 2 + L 2 = I m é d 2

E como:

I x ' I y ' - I x ' 2 I y ' = I m é d 2 - R 2

Temos que:

L 2 = I x ' I y ' - I x ' 2 I y '

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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