Enunciado

Usando integração, determine o produto de inércia I x y para o arco de 90 ° mostrado no Caso 12, Apêndice D.

Passo 1

Bora lá galera!

O produto da inércia do elemento d A em relação aos eixos através de seu próprio centróide é igual a zero.

E nesse caso usaremos o teorema dos eixos paralelos aplicados ao elemento d A .

x 2 + y - r 2 = r 2

r 2 - x 2 = y - r 2 Eq. (1)

Passo 2

Com isso my friends, basta aplicarmos o teorema, logo:

d I x y = 0 + d A d 1 d 2 = ( r - x ) ( d y ) r + x 2 y

d I x y = 1 2 r 2 - x 2 y   d y

Substituindo a equação 1, temos que:

d I x y = 1 2 y - r 2 ⋅ y   d y

Portanto,

I x y = ∫ d I x y

I x y = 1 2 ∫ 0 r y y - r 2   d y

I x y = 1 2 ∫ 0 r y 3 - 2 y 2 r + y r 2   d y

I x y = 1 2 ⋅ y 4 4 - 2 y 3 r 3 + y 2 r 2 2 0 r

I x y = 1 2 ⋅ 3 r 4 - 8 r 4 + 6 r 4 12

I x y = 1 2 ⋅ r 2 12

I x y = r 2 1 2

Essa questão foi, heim... Bora pra próxima?

Resposta

I x y = r 2 12

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