Use um computador para produzir um diagrama de espaço de fase similar à Figura 3.11 para o caso de amortecimento crítico. Demonstre analiticamente que a equação da linha da qual os caminhos de fase se aproximam assintoticamente é x ˙ = - β x . Mostre que os caminhos de fase para, no mínimo, três posições iniciais acima e abaixo da linha.

Passo 1

Faala meu povo, bora com tudo pra mais uma questão do nosso livro!

Bem galerinha, primeiramente queremos traçar as equações:

x t = A + B t e - β t

x t = B - β A + B t e - β t

Onde as constantes são dadas por A = x 0 e B = v 0 + β x 0 , então com as condições iniciais x 0 e v 0 podemos produzir o gráfico da figura 3-11. As condições iniciais usadas para produzir a figura são:

x 0 , v 0 = ( - 2   c m ,   4   c m / s ) ( 1   c m ,   4   c m / s ) ( 4   c m ,   - 1   c m / s ) ( 1   c m , -   4   c m / s ) ( - 1   c m ,   - 4   c m / s ) ( - 4   c m ,   0 )

Passo 2

Utilizando python para plotar o gráfico e o código que é mostrado na imagem a seguir, obtemos:

como t → ∞ podemos desprezar o primeiro termo em x ( t ) , que é A e - β t ,uma vez que está decrescendo exponencialmente, também o segundo termo está diminuindo exponencialmente, mas o fator t faz com que ele diminua muito mais lentamente que o primeiro termo, então podemos escrever:

lim t → ∞ ⁡ x t = B t e - β t

E para a velocidade podemos escrever:

lim t → ∞ ⁡ v t = - β B t e - β t

combinando essas duas equações, podemos obter a linha v = - β x , que é a linha pontilhada da figura desenhada.

Finalizamos aqui nossa questão, tranquilo? Te vejo na próxima!

Resposta

v e r   p a s s o   a   p a s s o