Use um computador para produzir um diagrama de espaço de fase similar à Figura 3.11 para o caso de amortecimento crítico. Demonstre analiticamente que a equação da linha da qual os caminhos de fase se aproximam assintoticamente é . Mostre que os caminhos de fase para, no mínimo, três posições iniciais acima e abaixo da linha.
Passo 1
Faala meu povo, bora com tudo pra mais uma questão do nosso livro!
Bem galerinha, primeiramente queremos traçar as equações:
Onde as constantes são dadas por e , então com as condições iniciais e podemos produzir o gráfico da figura 3-11. As condições iniciais usadas para produzir a figura são:
Passo 2
Utilizando python para plotar o gráfico e o código que é mostrado na imagem a seguir, obtemos:


como podemos desprezar o primeiro termo em , que é ,uma vez que está decrescendo exponencialmente, também o segundo termo está diminuindo exponencialmente, mas o fator faz com que ele diminua muito mais lentamente que o primeiro termo, então podemos escrever:
E para a velocidade podemos escrever:
combinando essas duas equações, podemos obter a linha , que é a linha pontilhada da figura desenhada.
Finalizamos aqui nossa questão, tranquilo? Te vejo na próxima!