(a) Use as soluções gerais x ( t ) da equação diferencial d 2 x / d t 2 + 2 β d x / d t   +   ω 0 2 = 0 para movimento subamortecido, criticamente amortecido e sobreamortecido e escolha as constantes de integração para satisfazer as condições iniciais x = x 0 e v = v 0 e t = 0 .

(b)Use um computador para elaborar o gráfico dos resultados para x ( t ) / x 0 como uma função de ω 0 t nos três casos β = ( 1 / 2 ) ω 0 , β = ω 0 e β = 2 ω 0 . Mostre todas as três curvas em um único gráfico.

Passo 1

E aí minha gente, bora com tudo pra mais uma questão do nosso livro!

Letra (a)

Primeiramente temos que solução geral da equação diferencial

d 2 x d t 2 + 2 β d x d t   +   ω 0 2 = 0

É dada por:

x t = exp ⁡ - β t A 1 exp ⁡ t β 2 - ω 0   2 + A 2 exp ⁡ - t β 2 - ω 0   2  

E

v t = x ' t = - β exp ⁡ - β t A 1 exp ⁡ t β 2 - ω 0   2 + A 2 exp ⁡ - t β 2 - ω 0   2 +   exp ⁡ - β t β 2 - ω 0   2 A 1 exp ⁡ t β 2 - ω 0   2 - A 2 exp ⁡ - t β 2 - ω 0   2

Em t = 0 , x t = x 0 , v t = v 0

A 1 = 1 2 x 0 + v 0 + β x 0 β 2 - ω 0 2

A 1 = 1 2 x 0 - v 0 + β x 0 β 2 - ω 0 2

Passo 2

Letra (b)

Caso 1: subamortecido, β = ω 0 2 .

Neste caso, ao invés de usar a parametrização acima, é mais conveniente trabalhar com a seguinte parametrização:

x t = A exp ⁡ - β t cos ⁡ t ω 0 2 - β 2 - δ  

v t = - A exp ⁡ - β t β cos ⁡ t ω 0 2 - β 2 - δ + ω 0 2 - β 2 sin ⁡ t ω 0 2 - β 2 - δ

Agora, usando as condições iniciais para x t e v ( t ) , achamos:

A = x 0 ω 0 2 - β 2 v 0 x 0 + β 2 + ω 0 2 - β 2

E

tan ⁡ ( δ ) = v 0 x 0 + β ω 0 2 - β 2

No caso de β = ω 0 2 temos:

tan ⁡ ( δ ) = 2 3 v 0 x 0 ω 0 + 1 3 = - 1 3 →   δ = - 30 °

A = 2 3 x 0 ω 0 v 0 2 x 0 2 + v 0 ω 0 x 0 + ω 0 2 = 2 3 x 0

Então finalmente, temos:

x t = 2 3 x 0 exp ⁡ - 1 2 ω 0 t cos ⁡ t √ 3 2 ω 0 + 30 °

Caso 2: criticamente amortecido, β = ω 0 .

Utilizando a mesma parametrização do caso 1, temos:

x t = A exp ⁡ - β t = x 0 exp ⁡ ( - ω 0 t )

E v t = x ' t = ω 0 x 0 exp ⁡ ( - ω 0 t ) → v 0 = - ω 0 x 0

Caso 3: sobreamortecido, β = 2 ω 0 .

Voltando para a parametrização original, temos:

x t = exp ⁡ - β t A 1 exp ⁡ t β 2 - ω 0   2 + A 2 exp ⁡ - t β 2 - ω 0   2  

= ( 3 + 1 ) x 0 2 3 exp ⁡ ( 3 - 2 ) ω 0 t + ( 3 - 1 ) x 0 2 3 exp ⁡ - 3 + 2   ω 0 t

Dessa forma, abaixo temos os gráficos das equações:

Finalizamos aqui nossa questão, tudo beleza? Te vejo na próxima!

Resposta

v e r   p a s s o   a   p a s s o