Um vetor F = F x i + F y j = F a + F y b   onde i , j e a,b são pares de vetores unitários perpendiculares em um plano.

Mostrar isso

F a = F x c o s ⁡ θ + F y s i n ⁡ θ F b = - F x s i n ⁡ θ + F y c o s ⁡ θ

E

F x = F a cos ⁡ θ - F b sin ⁡ θ F y = F a sin ⁡ θ + F b cos ⁡ θ

Essas equações também podem ser escritas na forma matricial

F a F b = c o s ⁡ θ s i n ⁡ θ - s i n ⁡ θ c o s ⁡ θ F x F y   F x F y = c o s ⁡ θ - s i n ⁡ θ s i n ⁡ θ c o s ⁡ θ F x F y

Ou

F ' = T F             F = T - 1 F '             T ' ' = T - 1

Passo 1

Veja a partir da figura

i ‾ = a ‾ c o s ⁡ θ - b ‾ s i n ⁡ θ j ‾ = a ‾ s i n ⁡ θ + b ‾ c o s ⁡ θ

Nós também temos

i ‾ ⋅ a ‾ = | i ‾ | | a ‾ | c o s ⁡ θ = c o s ⁡ θ i ‾ ⋅ b ‾ = - s i n ⁡ θ j ‾ ⋅ a ‾ = c o s ⁡ ( π / 2 - θ ) = s i n ⁡ θ j ‾ ⋅ b ‾ = c o s ⁡ θ

Mais genericamente

i ‾ = ( i ‾ ⋅ a ‾ ) a ‾ + ( i ‾ ⋅ b ‾ ) b ‾ j ‾ = ( j ‾ ⋅ a ‾ ) a ‾ + ( j ‾ ⋅ b ‾ ) b ‾

Quando F - = F x i - + F y j - = F x ( a - c o s ⁡ θ - b - s i n ⁡ θ ) + F y ( a - s i n ⁡ θ + b - c o s ⁡ θ )

= a - F x c o s ⁡ θ + F y s i n ⁡ θ + b - F y c o s ⁡ θ - F x s i n ⁡ θ .

Passo 2

∴ F a = F x c o s ⁡ θ + F y s i n ⁡ θ ....... (i)

E F b = - F x s i n ⁡ θ + F y c o s ⁡ θ .....(ii)

De i e ii temos

F y = F a s i n ⁡ θ + F b c o s ⁡ θ F x = F a c o s ⁡ θ - F b s i n ⁡ θ

Resposta

F y = F a s i n ⁡ θ + F b c o s ⁡ θ F x = F a c o s ⁡ θ - F b s i n ⁡ θ