Enunciado

A viga é apoiada por um pino em A e um elo curto B C . Se P   =   15   k N , determine a tensão de cisalhamento média desenvolvida nos pinos em A ,   B   e   C . Todos os pinos estão sujeitos a cisalhamento duplo, como mostra a figura, e cada um tem diâmetro de 18   m m .

Passo 1

Primeiramente constatamos que o comprimento da viga é a soma de todas as cotas dadas no enunciado, assim teremos: L = 0,5 + 1 + 1,5 + 1,5 + 0,5 m = 5 m . Além disso, podemos fazer o seguinte diagrama de forças para o problema

Onde a força F c pode ser decomposta em duas componentes: uma vertical e uma horizontal que foram desenhadas em verde no nosso diagrama. Assim, pela decomposição de vetores temos

F c y = F c ⋅ s e n 30 °   e   F c x = F c ⋅ cos ⁡ 30 °

Passo 2

Feitas as considerações iniciais podemos ir para o somatório das forças nas direções que nos forem convenientes. Dessa forma vamos ter

∑ M a = 0

Adotando o sentido horário como positivo temos

- F c y ⋅ L + 15 k N ⋅ 4,5 m + 60 k N ⋅ 3,5 m + 60 k N ⋅ 2,0 m + 30 k N ⋅ 0,5 m = 0

F c y ⋅ 5 m = 15 k N ⋅ 4,5 m + 60 k N ⋅ 3,5 m + 60 k N ⋅ 2,0 m + 30 k N ⋅ 0,5 m

F c y ⋅ 5 =   412,5 k N

F c y = 412,5 k N 5 = 82,5 k N

Como temos apenas A y e F c y fazendo força para cima e temos 165 k N para baixo, descoberto o valor de F c y podemos concluir que A y = 82,5 k N . Agora, com as equações da decomposição de vetores teremos

F c y = F c ⋅ s e n 30 ° → F c = F c y s e n   30 ° = 82,5 k N 0,5 = 165 k N

F c x = F c ⋅ cos ⁡ 30 ° = 165 k N ⋅ 3 2 ≈ 142,89 k N

Passo 3

Por fim, podemos calcular as tensões de cisalhamento lembrando que como todos os pinos sofrem cisalhamento duplo devemos dividir as forças por 2, assim

A p i n o = π 4 ⋅ 18 ⋅ 10 - 3 2 m 2

Para os pinos B e C:

τ b - c = 1 2 ⋅ F c A p i n o ≈ 324,2 M P a

Já para o pino A vamos calcular primeiramente a força que está provocando o cisalhamento que vai ser exatamente a resultante de A x   e   A y , calculada como

F a = A x 2 + A y 2 = 165 k N

Então

τ a = 1 2 ⋅ F a A p i n o ≈ 324,2 M P a

Resposta

τ b - c = 324,2 M P a

τ a = 324,2 M P a

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