Enunciado

Para a viga em balanço e o carregamento mostrados nas figuras, determine ( a ) a equação da linha elástica para a parte A B da viga, ( b ) a deflexão em B e ( c ) a inclinação em B .

Passo 1

Fala aí, galera. Beleza? Bora fazer mais um exercício pra ficar craque.

Primeiro, vamos esboçar o DCL:

Agora, vamos utilizar as equações de equilíbrio para determinarmos as reações de apoio em A , temos:

∑ F y = 0 R A - w L = 0 R A = w L

E tamém:

∑ M A = 0 - M A - w L L 2 + w L 2 6 = 0 M A = - 1 3 w L 2

Com as reações de apoio determinadas, vamos esboçar um novo DCL, desta vez, considerando as forças que agem em B como reduntantes. Fica assim:

Em seguida, vamos utilizar a equação de momento no ponto k para determinarmos a equação para o momento fletor:

∑ M k = 0 - R A x + w x x 2 +   M - M A = 0 M = - 1 2 w x 2 + w L x - 1 3 w L 2

Com isso, podemos substituir esta equação que encontramos na equação diferencial da linha elástica. Ela é dada por:

E I d 2 y d x = M

Substituindo:

E I d 2 y d x 2 = - 1 2 w x 2 + w L x - 1 3 w L 2

Agora, considerando a rigidez à flexão constante, vamos integrar esta equação duas vezes, para obtermos, respectivamente, a equação para a força cortante e a equação da linha elástica. Integrando, temos:

E I d y d x = - 1 6 w x 3 + 1 2 w L x 2 - 1 3 w L 2 x + C 1

Integrando mais uma vez:

E I y = - 1 24 w x 4 + 1 6 w L x 3 - 1 6 w L 2 x 2 + C 1 x + C 2

Passo 2

O próximo passo para encontrarmos a equação da linha elástica é determinarmos as constantes. Para isso, vamos utilizar as condições de contorno. São elas:

x = 0 → d y d x = 0 x = 0 → y = 0

Ou seja, quando x está no ponto A , a força cortante é nula. E também, no mesmo ponto, a equação para linha elástica é igual a 0 . Com isso, vamos substituir estas condições nas respectivas equações para determinarmos as constantes. Para a primeira:

C 1 = 0

E para a segunda condição, temos:

C 2 = 0

Com as constantes definidas, basta as substituirmos na equação que encontramos anteriormente. Fica assim:

E I y = - 1 24 w x 4 + 1 6 w L x 3 - 1 6 w L 2 x 2 + C 1 x + C 2 y = w 24 E I - x 4 - 4 L x 3 - 4 L 2 x 2

Esta é a nossa equação para a linha elástica.

Passo 3

Em seguida, para determinarmos a deflexão em B basta utilizarmos a equação para a linha elástica que encontramos no item anterior e substituirmos no ponto em que o enunciado nos pede, neste caso, em x = L . Assim, substituindo:

y = w 24 E I - x 4 - 4 L x 3 - 4 L 2 x 2 y B = - w L 4 24 E I

Passo 4

Por fim, para determinarmos a a inclinação em B vamos utilizar a equação para a força cortante e substituirmos no ponto indicado. Neste caso, em x = L . Portanto:

d y d x = - 1 6 w x 3 + 1 2 w L x 2 - 1 3 w L 2 x d y d x = - 1 6 w L 3 + 1 2 w L L 2 - 1 3 w L 2 ( L ) θ B = 0

É isso, galera! Vamos fazer mais questões.

Resposta

y = w 24 E I - x 4 - 4 L x 3 - 4 L 2 x 2

y B = - w L 4 24 E I

θ B = 0

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