Enunciado

Para a viga com o carregamento mostrado, determinar:

  1. A declividade no ponto D

Passo 1

Então galera, até aqui vimos casos de vigas simétricas, e esse caso pode acabar nos dando um medinho, mas pode ficar tranquilo, porque todas as premissas continuam iguais, a diferença está em como vamos usar ela, e para isso, sabemos de cara que precisamos das nossas reações de apoio, com isso, temos que:

∑ M D = 0

- V A 3,0 + 40 × 2,4 + 40 × 1,5 - 10 × 1,2 = 0

- V A 3,0 + 144 = 0

V A = 48

∑ F V = 0

48 + V D - 40 - 40 - 10 = 0

V D = 42   k N

Podemos usar um macete, vamos descartar o nosso apoio em A, e vamos supor que em D temos um engaste, e o macete vai ser desenhar o diagrama de cada carregamento separado, assim vamos ter:

E sabemos que devemos dividir o nosso diagrama por E I , e assim teremos que:

Passo 2

Agora, pensa no seguinte, como eu disse, quando tínhamos cargas simétricas, poderíamos considerar um ponto em que sabíamos que a deflexão era zero, porém, agora não sabemos mais onde temos essa deflexão, vamos partir direto para o que sabemos, que nesse caso é a deformação, e como a deformação vai nos ajudar a determinar a declividade? Muito simples, podemos determinar a deformação de A com relação a D da seguinte maneira:

θ A / D = θ A - θ D

E pensa no seguinte, queremos saber quanto vale o ângulo em D, certo? Vamos isolar o ângulo:

θ D = θ A - θ A / D

E se multiplicarmos tudo por L, obtemos exatamente as deformações, mas perceba que a do ângulo D eu não irei modificar.

L θ D = L θ A - L θ A / D

L θ D = y A - y A / D

E sabemos que a deformação em A é zero, assim temos que:

θ D = - y A / D L

E para determinarmos a deformação y A / D precisamos de todas as áreas entre A e D e das distâncias desses centroides ATÉ A, bem importante lembrar que sempre determinamos a distância com relação ao primeiro termo do subscrito A / D . Dividindo o nosso diagrama em áreas mais simples temos que:

A 1 = - 144 E I × 3 × 1 2 = - 216 E I

A 2 = 60 E I × 1,5 × 1 2 = 45 E I

A 3 = 96 E I × 2,4 × 1 2 = 115,2 E I

A 4 = 12 E I × 1,2 × 1 2 = 7,2 E I

E além das áreas precisamos da distancia de cada centroide até o nosso ponto A, assim teremos que:

Assim podemos definir que os dados que devemos usar estão entre A e D:

y A / D = A 1 y 1 + A 2 y 2 + A 3 y 3

y A / D = - 216 E I × 2 , 0 + 45 E I × 2 , 5 + 115,2 E I × 2,2 = - 66,06 E I  

Mas lembre-se que o objetivo é o ângulo, com isso teremos que:

θ D = - y A D L = - - 66,06 E I 3,0 = 22,02 E I

E = 200   G P a = 200 × 10 6   k N / m 2

I = 42,9 × 10 6   m m 4 = 4,29 × 10 - 5   m 4

E I = 8580   k N m 2

θ D = 22,02 8580 = 2,57 × 10 - 3   r a d

Resposta

θ B = 2,57 × 10 - 3   r a d

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