Enunciado

Para a viga e o carregamento mostrados, determine a declividade do ponto A . Use E = 200   G P a .

Passo 1

Fala aí, galerinha. Tudo bele? Vamos fazer mais uma questão.

Este problema nos pede para determinarmos a inclinação no ponto A . Para isso, vamos adicionar um momento fictício M A e então, vamos esboçar o D C L pra ver como o nosso problema vai ficar:

Em seguida, vamos utilizar as equações de equilíbrio para determinarmos as reações de apoio. Assim, encontramos qie:

∑ M D = 0 R A = - 32538 1,829 + M A 1,829

E também:

∑ M A = 0 R D = 97376,5 1,829 - M A 1,829

Passo 2

Em seguida, vamos determinar a energia de deformação total para esta viga. Vamos lembrar que a a energia de deformação é uma grandeza escalar, portanto, ela vai ser a soma das energias de deformação para cada porção da viga:

U = 1 E I ∫ 0 2,743 M 2   d x = U A D + U D B

E então, ao derivarmos esta equação dos dois lados em função de M A , obteremos a inclinação, que neste caso, vai ser no ponto A . Temos:

θ A = ∂ M ∂ M A = 1 E I ∫ 0 2,743 M ∂ M ∂ M A   d x

Com isso, vamos encontrar o momento fletor M para cada porção da viga. Para a primeira A D , compreendida no intervalo 0 ≤ x ≤ 1,829 temos:

M = M A - 32447 1,829 x + M A 1,829 x

E a sua derivada em relação a M A , ou seja, a sua deflexão vai ser:

∂ M ∂ M A = 1 - x 1,829

Como M A = 0 , a inclinação no segmento A D vai ser:

∂ U A D ∂ M A = 1 E I ∫ 0 1,829 32538 1,829 x 1 - x 1,829   d x

Logo, resolvendo esta integral, temos:

θ A D = ∂ U A D ∂ M A = 24 E I

Agora vamos repetir este processo para a porção D B , compreendida em 1,829 ≤ x ≤ 2,743 , temos que o momento fletor vai ser:

M = - 35,6 u

E a inclinação, dada pela derivada parcial em M A , vai ser:

θ D B = ∂ M ∂ M A = 0

Passo 3

Agora é só substituirmos naquela relação que a gente comentou no último passo para encontrarmos a inclinação mo ponto A . Fica assim

θ A = ∂ U M A = 1 E I ∂ U A D ∂ M A + ∂ U D B ∂ M A

Para este perfil, sabemos que o momento de inercia é tabelado e dado por:

I = 23,9 × 10 - 6   m 4

Portanto:

E I = 200 × 10 9 23,9 × 10 - 6 = 47800   k N ∙ m 2

Substituindo na equação da inclinação:

θ A = 9918 200 × 10 9 23,9 × 10 - 6

θ A = 2,07 × 10 - 3   r a d

É isso, galera Bora pra próxima?

Resposta

θ A = 2,07 × 10 - 3   r a d

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