Enunciado

Para a viga e o carregamento mostrados, determine a inclinação na extremidade A . Use E = 200   G P a .

Passo 1

Fala aí, gurizada. Tudo beleza? Bora fazer mais um exercício pra ficar craque.

Nesta questão, temos que determinar a inclinação no ponto A . Portanto, vamos adicionar uma carga fictícia M A na extremidade A . Bora esboçar o D C L pra ver isso:

Em seguida, vamos utilizar as equações de equilíbrio para determinar as reações de apoios:

R A = 80 - M A 4,8 R B = 80 + M A 4,8

Com isso, vamos determinar o momento fletor M para cada porção da viga. Para a primeira, compreendida no intervalo 0 ≤ x ≤ 2,4 , o momento é dado por:

M = M A + R A x = M A + 80 x - M A 4,8 x

E a sua derivada em relação a M A , ou seja, a sua inclinação vai ser:

∂ M ∂ M A = 1 - x 4,8

Para a outra porção da viga, ou seja, a porção B C compreendida em 2,4 ≤ x ≤ 4,8 , temos que o momento fletor vai ser:

M = R B v = 80 v + M A 4,8 v

E a inclinação, dada pela derivada parcial em M A , vai ser:

∂ M ∂ M A = 1 4,8 v

Passo 2

Em seguida, vamos determinar a energia de deformação total para esta viga. Vamos lembrar que a a energia de deformação é uma grandeza escalar, portanto, ela vai ser a soma das energias de deformação para cada porção da viga. Fica assim:

U = U A B + U B C U = ∫ 0 2,4 M 2 2 E I d x + ∫ 0 2,4 M 2 2 E I d v

Onde os limites de integração correspondem ao comprimento de cada segmento. Em seguida, vamos derivar esta equação dos dois lados em função de M A . Assim, obteremos a inclinação que, neste caso, vai ser no ponto A , temos:

θ A = ∂ U ∂ Q = 1 E I ∫ 0 1 M ∂ M ∂ M A   d x + ∫ 0 1,5 M ∂ M ∂ M A   d v

Substituindo:

θ A = 1 200 × 10 9 I ∫ 0 2,4 80 x 1 - x 4,8   d x + 1 200 × 10 9 I ∫ 0 2,4 80 v v 4,8   d x

Para este perfil de viga, o momento de inercia é tabelado e pode ser encontrado na internet ou nos livros. Ele é dado por:

I = 163 × 10 - 6   m 4

Substituindo na equação:

θ A = 1 200 × 10 9 ( 163 × 10 - 6 ) ∫ 0 2,4 80 x - 80 x 2 4,8   d x + 1 200 × 10 9 ( 163 × 10 - 6 ) ∫ 0 2,4 80 v 2 4,8   d v

Vamos resolver esta integral pra você para adiantarmos o processo. Assim, a deformação em B vai ser:

θ A = 7,07 × 10 - 3

Isso é tudo, pessoal. Bora zerar esse livro.

Resposta

θ A = 7,07 × 10 - 3

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