Enunciado

Para a viga e o carregamento mostrados na figura, determine a deflexão (a) no ponto D e (b) no ponto E.

Passo 1

Opaa! Fala pessoal, beleza? Bora pra mais um?! Para resolver esse exercício, vamos utilizar o método do momento de área. Para isso vamos precisar desenhar o diagrama M/EI para a viga. Depois disso, sabemos que a área entre dois pontos sob a curva M/EI representa a inclinação entre esses dois pontos. E para obter a deflexão, vamos utilizar o teorema do segundo momento de área, que nos fornece o desvio tangencial entre dois pontos. Sabendo disso, temos tudo o que precisamos para resolver o exercício, então bora lá!

Passo 2

Tá legal, devido a simetria do carregamento, sabemos que as forças nos apoios A e B serão iguais e correspondem a metade das forças localizadas aplicadas na viga, ou seja:

A y = B y = P + P 2 → A y = B y = P

Sendo assim, vamos agora desenhar um DCL para uma seção da viga de comprimento 0 < x < L / 3 , onde teremos:

Agora vamos aplicar o somatório de momento em relação ao ponto F, onde teremos:

+ ↺ ∑ M F = 0

M - P x = 0 → M = P x

Agora vamos estender a seção da viga até algum ponto entre D e E, onde teremos:

Agora vamos aplicar o somatório de momento em relação ao ponto G, onde teremos:

+ ↺ ∑ M G = 0

M - P x + L 3 + P x = 0 → M = P L 3

Passo 3

Agora, para a última seção, que vai até o trecho entre os pontos E e B, teremos:

Agora vamos aplicar o somatório de momento em relação ao ponto H, onde teremos:

+ ↺ ∑ M H = 0

M - P x + 2 L 3 + P x + L 3 + P x = 0 → M = P L 3 - P x

Agora nós vamos encontrar os valores para os momentos nos pontos D e E, já que devido a simetria, os momentos serão iguais a zero nos apoios. Então teremos:

M D = P L 3 → M D = P L 3

M E = P L 3

Agora podemos desenhar o diagrama M/EI para a nossa viga, só lembrando que como temos EI diferente para as seções, isso irá impactar na magnitude do gráfico, pois quanto maior EI, menor será o valor da curva M/EI para um mesmo valor de momento. Então, com os momentos que encontramos, teremos:

Então, agora vamos calcular as áreas que encontramos e os seus centroides, então vamos lá:

A 1 = b h 2 = L 3 P L 3 2 E I 2 → A 1 = P L 2 36 E I

x - 1 = b 3 = L 3 3 → x - 1 = L 9

A 2 = b h = L 3 P L 3 2 E I → A 2 = P L 2 18 E I

x - 2 = b 2 = L 3 2 → x - 2 = L 6

A 3 = b h 2 = L 3 P L 3 ( E I ) 2 → A 3 = P L 2 18 E I

x - 3 = b 3 = L 3 3 → x - 3 = L 9

Passo 4

Beleeeza! Agora, sabemos que a deflexão entre dois pontos será dada através do teorema do segundo momento de área, onde para o nosso caso, teremos:

t D / A = A D A x - + θ A x A D

Em que A C A é a área embaixo da curva M / E I e x - é a distância do centroide da área até o eixo vertical que passa pelo ponto de interesse, que no nosso caso é o ponto C. E, agora, sabemos que a inclinação no ponto A pode ser encontrada através da equação 9.22 vista nessa seção, onde teremos:

θ A = - t B / A L

E, sabemos que o desvio tangencial do apoio B em relação a A é dado por:

t B / A = A 1 x - 1 + A 2 x - 2 + A 3 x - 3

Substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

t B / A = P L 2 36 E I 2 L 3 + L 9 + P L 2 18 E I L 3 + L 6 + P L 2 18 E I L 3 - L 9

t B / A = 7 P L 3 324 E I + P L 3 36 E I + P L 3 81 E I

t B / A = 20 P L 3 324 E I → t B / A = 5 P L 3 81 E I

Então a inclinação em A será:

θ A = - t B / A L = - 5 P L 3 81 E I L → θ A = - 5 P L 2 81 E I

E, agora podemos calcular a deflexão no ponto D, que será então:

t D / A = A D A x - - θ A x A D → t D - t A = A 1 x - 1 + θ A x A D

Substituindo os valores conhecidos e sabendo que não temos deflexão no ponto A por causa do apoio, chegamos em:

t D - 0 = P L 2 36 E I L 9 + - 5 P L 2 81 E I L 3 = P L 3 324 E I - 5 P L 3 243 E I

t D = - 17 P L 3 972 E I

Shoow! Bora pra (b) pra fechar!

Passo 5

Agora, para encontrar a deflexão no ponto E, vamos repetir o procedimento do passo 4, só mudando as referências. Então a nossa equação do segundo momento de área se torna:

t E / A = A E A x - + θ A x A E

t E - t A = A 1 x - 1 + A 2 x - 2 + θ A x A E

Substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

t E - 0 = P L 2 36 E I L 3 + L 9 + P L 2 18 E I L 6 + - 5 P L 2 81 E I 2 L 3

t E = P L 3 81 E I + P L 3 108 E I - 10 P L 3 243 E I

t E = - 19 P L 3 972 E I

Tooop! Terminamos mais um!!

Resposta

a : t D = - 17 P L 3 972 E I

b :   t E = - 19 P L 3 972 E I

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