Enunciado

Para a viga e o carregamento mostrados na figura, determine ( a ) a equação da linha elástica, ( b ) a inclinação na extremidade A e ( c ) a deflexão no ponto médio do vão livre.

Passo 1

Fala aí, gurizada. Tudo bem? Vamos praticar mais mecânica.

Neste problema, para determinarmos o que é pedido vamos começar utilizando a seguinte relação:

d V d x = - w

Ela nos diz que a derivada da função de força cortante é a função simétrica da função do carregamento distribuída. Dado que o carregamento é dado por:

w = w 0 L 2 4 L x - 4 x 2

A equação da força cortante vai ser:

d V d x = - w 0 L 2 4 L x - 4 x 2 V = w 0 L 2 4 3 x 3 - 2 L x 2 + C 1

Ao integrarmos esta equação, vamos obter a equação de momento fletor. Portanto:

d M d x = V = w 0 L 2 4 3 x 3 - 2 L x 2 + C 1 M = w 0 L 2 1 3 x 4 - 2 3 L x 3 + C 1 x + C 2

O último passo para encontrarmos a equação para o momento é determinarmos as constantes. Sabemos que nestas condições, o momento nas extremidades A e B é nulo. Logo as condições de contorno serão:

x = 0 → M = 0 x = L → M = 0

Substituindo nas equações de força cortante e momento fletor, vamos ficar com um sistema. Vamos adiantar as coisas e resolver ele pra você, assim, as constantes são:

C 1 = 1 3 w 0 L C 2 = 0

Portanto, a equação de momento vai ser dada por:

M = w 0 L 2 1 3 x 4 - 2 3 L x 3 + 1 3 L 3 x

Passo 2

Com isso, podemos substituir a equação de momento que encontramos na equação diferencial da linha elástica. Ela é dada por:

E I d 2 y d x = M

Substituindo:

E I d 2 y d x 2 = w 0 L 2 1 3 x 4 - 2 3 L x 3 + 1 3 L 3 x

Agora, considerando a rigidez à flexão constante, vamos integrar esta equação duas vezes, para obtermos, respectivamente, a equação para a força cortante e a equação da linha elástica. Integrando, temos:

E I d y d x = w 0 L 2 1 15 x 5 - 1 6 L x 4 + 1 6 L 3 x 2 + C 3

Integrando mais uma vez:

E I y = w 0 L 2 1 90 x 6 - 1 30 L x 5 + 1 18 L 3 x 3 + C 3 x + C 4

Passo 3

Em seguida, para encontrarmos a deflexão e a inclinação, precisamos primeiro encontrar a equação da linha elástica. Para isso, vamos encontrar as condições de contorno para as equações do ultimo passo. Fica assim:

x = 0 → y = 0 x = L → y = 0

Portanto, quando x está nas extremidades, a deflexão é nula. Portanto, substituindo essas condições de contorno, temos que:

C 3 = - 1 30 w L 3 C 4 = 0

Com as constantes definidas, basta as substituirmos nas equações que encontramos anteriormente. A equação da linha elástica vai ser:

y = w 0 E I L 2 1 90 x 6 - 1 30 L x 5 + 1 18 L 3 x 3 - 1 30 L 5

E a equação para a inclinação vamos encontrar substituindo a constante C 3 em d y / d x . Logo:

d y d x = w 0 E I L 2 1 15 x 5 - 1 6 L x 4 + 1 6 L 3 x 2 - 1 30 L 5

Passo 4

Para encontrarmos a inclinação no ponto A basta substituirmos x = 0 em d y / d x . Logo:

d y d x = w 0 E I L 2 1 15 x 5 - 1 6 L x 4 + 1 6 L 3 x 2 - 1 30 L 5 d y d x = w 0 E I L 2 1 15 0 5 - 1 6 L ( 0 ) 4 + 1 6 L 3 ( 0 ) 2 - 1 30 L 5 θ A = w 0 L 3 30 E I

Opa, encontramos a inclinação em A .

Passo 5

Por fim, para encontrarmos a deflexão no ponto médio, ou seja, em x = L / 2 , vamos resolver a equação da linha elástica neste ponto. Temos:

y = w 0 E I L 2 1 90 x 6 - 1 30 L x 5 + 1 18 L 3 x 3 - 1 30 L 5 y = w 0 E I L 2 1 90 L 2 6 - 1 30 L L 2 5 + 1 18 L 3 L 2 3 - 1 30 L 5 y C = - 61 w 0 L 4 5760 E I

Resposta

y = w 0 E I L 2 1 90 x 6 - 1 30 L x 5 + 1 18 L 3 x 3 - 1 30 L 5

θ A = w 0 L 3 30 E I

y C = - 61 w 0 L 4 5760 E I

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