Enunciado

Para a viga e o carregamento mostrados na figura, determine ( a ) a equação da linha elástica para a parte A B da viga, ( b ) a deflexão no meio do vão e ( c ) a inclinação em B .

Passo 1

Fala aí, galera. Beleza? Bora fazer mais um exercício pra ficar craque.

Primeiro, vamos esboçar o DCL:

Agora, vamos utilizar as equações de equilíbrio para determinarmos as reações de apoio, temos:

∑ M B = 0 - R A L + 1 2 w 0 L 1 3 L - 1 4 w 0 L 1 6 L = 0 R A = 1 8 w 0 L

Com as reações de apoio determinadas, vamos utilizar a equação de momento no ponto x , dado que 0 ≤ x < L para determinarmos a equação para o momento fletor:

∑ M x = 0 - 1 8 w 0 L x + 1 2 w 0 L x x x 3 + M = 0 M = 1 8 w 0 L x - w 0 6 L x 3  

Com isso, podemos substituir esta equação que encontramos na equação diferencial da linha elástica. Ela é dada por:

E I d 2 y d x = M

Substituindo:

E I d 2 y d x 2 = 1 8 w 0 L x - w 0 24 L x 3

Agora, considerando a rigidez à flexão constante, vamos integrar esta equação duas vezes, para obtermos, respectivamente, a equação para a força cortante e a equação da linha elástica. Integrando, temos:

E I d y d x = 1 16 w 0 L x 2 - w 0 24 L x 4 + C 1

Integrando mais uma vez:

E I y = 1 48 w 0 L x 3 - w 0 120 L x 5 + C 1 x + C 2

Passo 2

O próximo passo para encontrarmos a equação da linha elástica é determinarmos as constantes. Para isso, vamos utilizar as condições de contorno. São elas:

x = 0 → d y d x = 0 x = 0 → y = 0

Com isso, vamos substituir estas condições nas respectivas equações para determinarmos as constantes. Para a primeira:

C 1 = - 1 80 w 0 L 3

E para a segunda condição, temos:

C 2 = 0

Com as constantes definidas, basta as substituirmos na equação que encontramos anteriormente. Fica assim:

E I y = 1 48 w 0 L x 3 - w 0 120 L x 5 + C 1 x + C 2 y = w 0 E I L 1 48 L 2 x 3 - 1 120 x 5 - 1 80 L 4 x

Esta é a nossa equação para a linha elástica.

Passo 3

Em seguida, para determinarmos a deflexão em L / 2 basta utilizarmos a equação para a linha elástica que encontramos no item anterior e substituirmos neste ponto. Assim, substituindo:

y = w 0 E I L 1 48 L 2 x 3 - 1 120 x 5 - 1 80 L 4 x y = - w L 4 256 E I

Passo 4

Por fim, para determinarmos a a inclinação em B vamos utilizar a equação para a força cortante e substituirmos no ponto indicado. Portanto:

d y d x = 1 16 w 0 L x 2 - w 0 24 L x 4 - 1 80 w 0 L 3 θ B = w 0 L 3 120 E I

É isso, galera! Vamos fazer mais questões.

Resposta

y = w 0 E I L 1 48 L 2 x 3 - 1 120 x 5 - 1 80 L 4 x

y = - w L 4 256 E I

θ B = w 0 L 3 120 E I

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