Enunciado

Para a viga e o carregamento mostrados nas figuras, determine (a) a equação da linha elástica e (b) a deflexão no ponto médio C.

Passo 1

Opaa! Fala pessoal, beleza? Bora pra mais um?! Para resolver esse exercício, vamos utilizar a equação que governa a linha elástica, dada por:

E I . d 2 y d x 2 = M

Então, nós precisamos da equação para o momento da viga, vamos determinar essa equação com o auxílio das funções de singularidade vistas nesse capítulo, depois disso conseguimos integrar a expressão acima para obter a equação para a inclinação. Integrando novamente conseguimos obter a equação para a deflexão, e aí temos tudo o que precisamos pra resolver o exercício. Então bora lá!

Passo 2

Beleza! Vamos começar desenhando o DCL para o sistema, onde teremos:

Beleza! Vamos começar aplicando o somatório de momento em relação ao ponto B para descobrir o valor da reação no ponto A, então teremos:

+ ↺ ∑ M B = 0

- A y L + w 0 L 2 2 L 2 + 2 3 . L 2 = 0 → A y = w 0 4 5 6 L

A y = 5 w 0 L 24

Agora, como temos um carregamento distribuído que não vai até o final da viga, sabemos que devemos aplicar um carregamento equivalente ao mostrado no enunciado, mas com carregamentos que se prolonguem até o final da viga, para que possamos usar a equação da singularidade. Então o carregamento distribuído equivalente será:

Passo 3

Então, para o carregamento distribuído equivalente mostrado no passo 2, sabendo que a derivada da equação de cisalhamento corresponde ao carregamento, podemos escrever:

d V d x = - w 0 + w 0 x L 2 - w 0 L 2 < x - L 2 > 1 → d V d x = - w 0 + 2 w 0 x L - 2 w 0 L < x - L 2 > 1

Agora, integrando essa expressão, teremos:

V = - w 0 x + w 0 x 2 L - w 0 L < x - L 2 > 2 + C

Nesse caso, a constante C corresponde as forças localizadas aplicadas no sistema, como tomamos como referência do nosso sistema de coordenadas o ponto A, só teremos a reação A y , então nossa constante será:

C = A y = 5 w 0 L 24

Então a equação para o cisalhamento se torna:

V = - w 0 x + w 0 x 2 L - w 0 L < x - L 2 > 2 + 5 w 0 L 24

Agora, nós sabemos também que a derivada da equação momento corresponde ao cisalhamento, ou seja:

d M d x = V

Então, substituindo a expressão encontrada para o cisalhamento nessa equação, temos:

d M d x = - w 0 x + w 0 x 2 L - w 0 L < x - L 2 > 2 + 5 w 0 L 24

Integrando essa expressão, teremos:

M = - w 0 x 2 2 + w 0 x 3 3 L - w 0 3 L < x - L 2 > 3 + 5 w 0 L 24 x + C

Nesse caso, a constante C representa os momentos localizados aplicados no sistema, como no nosso caso não temos nenhum, teremos:

C = 0

Então nossa equação para o momento será:

M = - w 0 x 2 2 + w 0 x 3 3 L - w 0 3 L < x - L 2 > 3 + 5 w 0 L 24 x

Passo 4

Agora nós podemos utilizar a equação que governa o regime elástico descrita lá no passo 1 e substituir a equação obtida para o momento, então teremos:

E I . d 2 y d x 2 = - w 0 x 2 2 + w 0 x 3 3 L - w 0 3 L < x - L 2 > 3 + 5 w 0 L 24 x

Agora vamos integrar essa expressão, chegando em:

E I . d y d x = - w 0 x 3 6 + w 0 x 4 12 L - w 0 12 L < x - L 2 > 4 + 5 w 0 L 48 x 2 + C 1

Agora nós vamos integrar a equação novamente para obter a equação da deflexão, então teremos:

E I . y = - w 0 x 4 24 + w 0 x 5 60 L - w 0 60 L < x - L 2 > 5 + 5 w 0 L 144 x 3 + C 1 x + C 2

Passo 5

Beleza! Agora para encontrar o valor das constantes C 1 e C 2 vamos utilizar as condições de contorno que temos. No nosso caso, sabemos que a deflexão será zero nos apoios A e B, então teremos:

x = 0 → y = 0

x = L → y = 0

Substituindo a primeira relação na equação para a deflexão, temos:

E I . ( 0 ) = - w 0 ( 0 ) 4 24 + w 0 ( 0 ) 5 60 L - w 0 60 L < 0 - L 2 > 5 + 5 w 0 L 144 ( 0 ) 3 + C 1 ( 0 ) + C 2

C 2 = 0

Agora, substituindo a segunda condição de contorno na equação da deflexão, teremos:

E I . ( 0 ) = - w 0 ( L ) 4 24 + w 0 ( L ) 5 60 L - w 0 60 L < L - L 2 > 5 + 5 w 0 L 144 ( L ) 3 + C 1 ( L ) + 0

0 = - w 0 L 4 24 + w 0 L 4 60 - w 0 60 L L 2 5 + 5 w 0 L 4 144 + C 1 L

C 1 L = w 0 L 4 24 - w 0 L 4 60 + w 0 L 4 1920 - 5 w 0 L 4 144

C 1 = 240 w 0 L 3 - 96 w 0 L 3 + 3 w 0 L 3 - 200 w 0 L 3 5760 → C 1 = - 53 w 0 L 3 5760

Então, a nossa equação para a linha elástica será:

E I . y = - w 0 x 4 24 + w 0 x 5 60 L - w 0 60 L < x - L 2 > 5 + 5 w 0 L 144 x 3 + C 1 x + C 2

y = 1 E I - w 0 x 4 24 + w 0 x 5 60 L - w 0 60 L < x - L 2 > 5 + 5 w 0 L 144 x 3 - 53 w 0 L 3 5760 x

Shoow! Bora pra (b) agora!

Passo 6

Agora para a letra (b), vamos utilizar a equação que encontramos para a linha elástica no passo 5 e calcular para o ponto C, onde temos x = L / 2 . Então teremos:

y = 1 E I - w 0 L 2 4 24 + w 0 L 2 5 60 L - w 0 60 L < L 2 - L 2 > 5 + 5 w 0 L 144 L 2 3 - 53 w 0 L 3 5760 L 2

y = 1 E I - w 0 L 4 384 + w 0 L 4 1920 - 0 + 5 w 0 L 4 1152 - 53 w 0 L 4 11520

y = 1 E I - 30 w 0 L 4 + 6 w 0 L 4 + 50 w 0 L 4 - 53 w 0 L 4 11520 → y = - 27 w 0 L 4 11520 E I

y = - 3 w 0 L 4 1280 E I

Prooonto! Terminamos mais um, valeeu!

Resposta

a : y = 1 E I - w 0 x 4 24 + w 0 x 5 60 L - w 0 60 L < x - L 2 > 5 + 5 w 0 L 144 x 3 - 53 w 0 L 3 5760 x

b : y = - 3 w 0 L 4 1280 E I

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Para a viga com o carregamento mostrado, determinar: (a) a equação da linha elástica; (b) a deflexão na extremidade livre.
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Para a viga com o carregamento mostrado, determinar: (a) a equação da linha elástica; (b) a deflexão na extremidade livre.
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Para a viga com o carregamento mostrado, determinar: (a) a equação da linha elástica; (b) a declividade na extremidade A ; (c) a deflexão no ponto C .