Enunciado

Para a viga e o carregamento mostrados nas figuras, determine (a) a reação no ponto A, (b) a deflexão no ponto C. Utilize E = 200 GPa.

Passo 1

Eaaee galera, mais um exercício pra conta, só que esse é com as unidades americanas, meio chatinho, mas não tem jeito, vamos pra cima! Para resolver esse exercício, vamos utilizar a equação que governa a linha elástica, dada por:

E I . d 2 y d x 2 = M

Então, nós precisamos da equação para o momento da viga, vamos determinar essa equação com o auxílio das funções de singularidade vistas nesse capítulo, depois disso conseguimos integrar a expressão acima para obter a equação para a inclinação. Integrando novamente conseguimos obter a equação para a deflexão, aí só precisamos calcular o valor do momento de inércia para substituir os valores conhecidos nas equações que encontramos. Então bora lá!

Passo 2

Beleza! Vamos começar desenhando o DCL para o sistema, onde teremos:

Agora, vamos aproveitar e pegar o momento de inércia para a viga W12 X 22, como não temos as informações para as geometrias nas medidas americanas no apêndice C do livro, vamos recorrer a internet, de onde teremos:

I = 156   i n 4  

Com esse valor e com o módulo de elasticidade fornecido no enunciado (lembrando que temos que converter ele para ksi), teremos:

E I = 200 145 156 → E I = 4,524.10 6   k i p . i n 2

E agora, convertendo in² para ft², dividindo por 12², teremos:

E I = 31417   f t 2

Beleza! Como temos um carregamento distribuído que não vai até o final da viga, precisamos desenhar um carregamento equivalente que vá até o final da viga, para que possamos escrever o carregamento no formato da equação de singularidade. Então o carregamento equivalente será:

Agora, sabendo que a derivada da função de cisalhamento é igual ao oposto do carregamento, podemos escrever:

d V d x = - w = - 9 6 x - 9 < x - 6 > 0 - 9 6 < x - 6 > 1

d V d x = - 1,5 x + 9 < x - 6 > 0 + 1,5 < x - 6 > 1

Passo 3

Agora, integrando essa expressão, teremos:

V = - 1,5 x 2 2 + 9 < x - 6 > 1 + 1,5 2 < x - 6 > 2 + C

Nesse caso, a constante C corresponde as forças localizadas aplicadas no sistema, como tomamos como referência do nosso sistema de coordenadas o ponto A, teremos a reação A y , então nossa constante será:

C = A y

Então a equação para o cisalhamento se torna:

V = - 1,5 x 2 2 + 9 < x - 6 > 1 + 1,5 2 < x - 6 > 2 + A y

Agora, nós sabemos também que a derivada da equação momento corresponde ao cisalhamento, ou seja:

d M d x = V

Então, substituindo a expressão encontrada para o cisalhamento nessa equação, temos:

d M d x = - 1,5 x 2 2 + 9 < x - 6 > 1 + 1,5 2 < x - 6 > 2 + A y

Integrando essa expressão, teremos:

M = - 1,5 x 3 6 + 9 2 < x - 6 > 2 + 1,5 6 < x - 6 > 3 + A y x + C

Nesse caso, a constante C representa os momentos localizados aplicados no sistema, no nosso caso não temos nenhum, então teremos:

C = 0

Então nossa equação para o momento será:

M = - 1,5 x 3 6 + 9 2 < x - 6 > 2 + 1,5 6 < x - 6 > 3 + A y x

Passo 4

Agora nós podemos utilizar a equação que governa o regime elástico descrita lá no passo 1 e substituir a equação obtida para o momento, então teremos:

E I . d 2 y d x 2 = - 1,5 x 3 6 + 9 2 < x - 6 > 2 + 1,5 6 < x - 6 > 3 + A y x

Agora vamos integrar essa expressão, chegando em:

E I . d y d x = - 1,5 x 4 24 + 3 2 < x - 6 > 3 + 1,5 24 < x - 6 > 4 + A y x 2 2 + C 1

Agora, para descobrir o valor de C 1 vamos utilizar a condição de contorno no engaste em B, onde sabemos que não haverá inclinação, ou seja:

x = 12 → d y d x = 0

Substituindo essa relação na equação para a inclinação, chegamos em:

E I . 0 = - 1,5 ( 12 ) 4 24 + 3 2 < 12 - 6 > 3 + 1,5 24 < 12 - 6 > 4 + A y ( 12 ) 2 2 + C 1

0 = - 1296 + 324 + 81 + 72 A y + C 1 → C 1 = 891 - 72 A y

Agora nós vamos integrar a equação da inclinação para obter a equação da deflexão, então teremos:

E I . y = - 1,5 x 5 120 + 3 8 < x - 6 > 4 + 1,5 120 < x - 6 > 5 + A y x 3 6 + 891 x - 72 A y x + C 2

Passo 5

Agora para encontrar o valor da constante C 2 , nós vamos utilizar a condição de contorno no ponto A, onde sabemos que não há deflexão, ou seja:

x = 0 → y = 0

Substituindo essa condição na equação para a deflexão encontrada no passo 4, teremos:

E I . ( 0 ) = - 1,5 0 5 120 + 3 8 < 0 - 6 > 4 + 1,5 120 < 0 - 6 > 5 + A y 0 3 6 + 891 ( 0 ) - 72 A y ( 0 ) + C 2

C 2 = 0

Então, a nossa equação para a linha elástica será:

E I . y = - 1,5 x 5 120 + 3 8 < x - 6 > 4 + 1,5 120 < x - 6 > 5 + A y x 3 6 + 891 x - 72 A y x + C 2

y = 1 E I - 1,5 x 5 120 + 3 8 < x - 6 > 4 + 1,5 120 < x - 6 > 5 + A y x 3 6 + 891 x - 72 A y x

E a equação para a inclinação será:

E I . d y d x = - 1,5 x 4 24 + 3 2 < x - 6 > 3 + 1,5 24 < x - 6 > 4 + A y x 2 2 + C 1

d y d x = 1 E I - 1,5 x 4 24 + 3 2 < x - 6 > 3 + 1,5 24 < x - 6 > 4 + A y x 2 2 + 891 - 72 A y

Passo 6

Agora para a letra (a), para descobrir a reação no apoio A, vamos utilizar a equação para a deflexão obtida no passo 5 e calcular em x = 12   f t , pois sabemos que nesse ponto não temos deflexão, ou seja:

x = 12   f t → y = 0

Substituindo esses valores na equação para a deflexão, teremos:

0 = 1 E I - 1,5 12 5 120 + 3 8 < 12 - 6 > 4 + 1,5 120 < 12 - 6 > 5 + A y 12 3 6 + 891 ( 12 ) - 72 A y ( 12 )

0 = - 3110,4 + 486 + 97,2 + 288 A y + 10692 - 864 A y

A y = 14,175   k i p s

Quase lá em, falta só a (b) agora!

Passo 7

Agora, para a letra (b), vamos usar a equação da linha elástica que encontramos lá no passo 5 e calcular para o ponto C em x = 6   f t , além de substituir as expressões que já conhecemos, então teremos:

y = 1 31417 - 1,5 6 5 120 + 3 8 < 6 - 6 > 4 + 1,5 120 < 6 - 6 > 5 + 14,175 6 3 6 + 891 ( 6 ) - 72 ( 14,175 ) ( 6 )

y = 1 31417 - 97,2 + 0 + 0 + 510,3 + 5346 - 6123,6

y = - 11,6.10 - 3   f t

Prooonto! Terminamos mais um, valeeu!

Resposta

a : A y = 14,175   k i p s

b : y = - 11,6.10 - 3   f t

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Para a viga uniforme mostrado, determinar:A reação em B
Para a viga em balanço com o carregamento mostrado, determinar a declividade e a deflexão na extremidade D. Usar E = 200 G P a .
Para a viga uniforme mostrado, determinar:A reação em A;
Para a viga uniforme mostrada, determinar a reação em cada um dos três apoios.
A viga AC repousa sobre a viga DE, como mostrado. Sabendo-se que um perfil laminado de aço W 200 x 19,3 é usado para cada uma das vigas, determinar, para o carregamento indicado, a deflexão no ponto B