Enunciado

Para a viga de madeira e o carregamento mostrados na figura, determine (a) a inclinação na extremidade A e (b) a deflexão no ponto B. Use E = 200 GPa.

Passo 1

Opaa! Fala pessoal, beleza? Bora pra mais um?! Para resolver esse exercício, vamos utilizar a equação que governa a linha elástica, dada por:

E I . d 2 y d x 2 = M

Então, nós precisamos da equação para o momento da viga, vamos determinar essa equação com o auxílio das funções de singularidade vistas nesse capítulo, depois disso conseguimos integrar a expressão acima para obter a equação para a inclinação. Integrando novamente conseguimos obter a equação para a deflexão, aí só precisamos calcular o valor do momento de inércia para substituir os valores conhecidos nas equações que encontramos. Então bora lá!

Passo 2

Beleza! Vamos começar desenhando o DCL para o sistema, onde teremos:

Beleza! Vamos aplicar o somatório de momento em relação ao ponto D para descobrir o valor da reação no ponto A, então teremos:

+ ↻ ∑ M D = 0

A y 1,2196 - 1751 0,4064 0,2032 + 0,4064 2 - 890 0,2032 = 0

A y = 385,4   N

Agora vamos aproveitar e calcular o momento de inércia para a seção da viga. Como temos uma seção circular, o momento de inércia será:

I = π r 4 4 = π 0,0318 4 4 → I = 25,256.10 - 6   m 4

Agora, como temos carregamento distribuído na viga que não vai até o final, precisamos de um carregamento equivalente que vá até o final da viga, para que possamos escrever as equações de singularidade. Então o carregamento equivalente será:

Agora, sabendo que a derivada da equação de cisalhamento corresponde ao oposto do carregamento, podemos escrever:

d V d x = - w = - 1751 < x - 0,61 > 0 - 1751 < x - 1,0164 > 0

d V d x = - 1751 < x - 0,61 > 0 + 1751 < x - 1,0164 > 0

Passo 3

Agora, integrando essa expressão, teremos:

V = - 1751 < x - 0,61 > 1 + 1751 < x - 1,0164 > 1 + C

Nesse caso, a constante C corresponde as forças localizadas aplicadas no sistema, como tomamos como referência do nosso sistema de coordenadas o ponto A, teremos a reação A y e a força de 890 N, então nossa constante será:

C = A y - 890 < x - 1,0164 > 0 = 385,4 - 890 < x - 1,0164 > 0

Então a equação para o cisalhamento se torna:

V = - 1751 < x - 0,61 > 1 + 1751 < x - 1,0164 > 1 + 385,4 - 890 < x - 1,0164 > 0

Agora, nós sabemos também que a derivada da equação momento corresponde ao cisalhamento, ou seja:

d M d x = V

Então, substituindo a expressão encontrada para o cisalhamento nessa equação, temos:

d M d x = - 1751 < x - 0,61 > 1 + 1751 < x - 1,0164 > 1 + 385,4 - 890 < x - 1,0164 > 0

Integrando essa expressão, teremos:

M = - 1751 2 < x - 0,61 > 2 + 1751 2 < x - 1,0164 > 2 + 385,4 x - 890 < x - 1,0164 > 1 + C

Nesse caso, a constante C representa os momentos localizados aplicados no sistema, no nosso caso não temos nenhum, então teremos:

C = 0

Então nossa equação para o momento será:

M = - 1751 2 < x - 0,61 > 2 + 1751 2 < x - 1,0164 > 2 + 385,4 x - 890 < x - 1,0164 > 1

Passo 4

Agora nós podemos utilizar a equação que governa o regime elástico descrita lá no passo 1 e substituir a equação obtida para o momento, então teremos:

E I . d 2 y d x 2 = - 1751 2 < x - 0,61 > 2 + 1751 2 < x - 1,0164 > 2 + 385,4 x - 890 < x - 1,0164 > 1

Agora vamos integrar essa expressão, chegando em:

E I . d y d x = - 1751 6 < x - 0,61 > 3 + 1751 6 < x - 1,0164 > 3 + 385,4 x 2 2 - 890 2 < x - 1,0164 > 2 + C 1

Agora nós vamos integrar a equação novamente para obter a equação da deflexão, então teremos:

E I . y = - 1751 24 < x - 0,61 > 4 + 1 751 24 < x - 1,0164 > 4 + 385,4 x 3 6 - 890 6 < x - 1,0164 > 3 + C 1 x + C 2

Passo 5

Beleza! Agora, para encontrar o valor das constantes C 1 e C 2 , nós vamos usar as condições de contorno que temos nos apoios, onde sabemos que não há deflexão, ou seja:

x = 0 → y = 0

x = 1,2196   m → y = 0

Substituindo a primeira condição na equação para a deflexão encontrada no passo 4, teremos:

E I . 0 = - 1 751 24 < 0 - 0,61 > 4 + 1 751 24 < 0 - 1,0164 > 4 + 385,4 ( 0 ) 3 6 - 890 6 < 0 - 1,0164 > 3 + C 1 0 + C 2

C 2 = 0

Agora, vamos utilizar a segunda condição de contorno para obter o valor de C 1 , então teremos:

E I . 0 = - 1 751 24 < 1,2196 - 0,61 > 4 + 1 751 24 < 1,2196 - 1,0164 > 4 + 385,4 1,2196 3 6 - 890 6 < 1,2196 - 1,0164 > 3 + C 1 ( 1,2196 )

0 = - 10,075 + 0,1244 + 116,52 - 0,2529 + 1,2196 C 1 → C 1 = - 87,17   N . m 2

Então, a nossa equação para a linha elástica será:

E I . y = - 1751 24 < x - 0,61 > 4 + 1751 24 < x - 1,0164 > 4 + 385,4 x 3 6 - 890 6 < x - 1,0164 > 3 + C 1 x + C 2

y = 1 E I - 1751 24 < x - 0,61 > 4 + 1751 24 < x - 1,0164 > 4 + 385,4 x 3 6 - 890 6 < x - 1,0164 > 3 - 87,17 x

E a equação para a inclinação será:

E I . d y d x = - 1751 6 < x - 0,61 > 3 + 1751 6 < x - 1,0164 > 3 + 385,4 x 2 2 - 890 2 < x - 1,0164 > 2 + C 1

d y d x = 1 E I - 1751 6 < x - 0,61 > 3 + 1751 6 < x - 1,0164 > 3 + 385,4 x 2 2 - 890 2 < x - 1,0164 > 2 - 87,17

Passo 6

Agora para a letra (a), para determinar a inclinação na extremidade A, vamos utilizar a equação para a inclinação obtida no passo 5 e calcular em x = 0 , então teremos:

d y d x = 1 E I - 1751 6 < 0 - 0,61 > 3 + 1751 6 < 0 - 1,0164 > 3 + 385,4 ( 0 ) 2 2 - 890 2 < 0 - 1,0164 > 2 - 87,17

d y d x = 1 200.10 9 25,256.10 - 6 - 87,17 → d y d x = - 17,26 . 10 - 6   r a d

Quase lá em, falta só a (b) agora!

Passo 7

Agora, para a letra (b), vamos usar a equação da linha elástica que encontramos lá no passo 5 e calcular para o ponto B em x = 0,61   m , então teremos:

y = 1 E I - 1751 24 < 0,61 - 0,61 > 4 + 1751 24 < 0,61 - 1,0164 > 4 + 385,4 0,61 3 6 - 890 6 < 0,61 - 1,0164 > 3 - 87,17 ( 0,61 )

y = 1 200 . 10 9 25,256 . 10 - 6 - 0 + 0 + 14,58 - 0 - 53,174

y = - 7,64.10 - 6   m

Prooonto! Terminamos mais um, valeeu!

Resposta

a : d y d x = - 17,26.10 - 6   r a d

b : y = - 7,64.10 - 6   m

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Para a viga com o carregamento mostrado, determinar: (a) a equação da linha elástica; (b) a deflexão na extremidade livre.
Para a viga com o carregamento mostrado, determinar a deflexão em: (a) Ponto B ; (b) Ponto C .
Para a viga com o carregamento mostrado, determinar (a) a equação da linha elástica e (b) a deflexão na extremidade livre.
Para a viga com o carregamento mostrado, determinar (a) a equação da linha elástica e (b) a deflexão no ponto médio C.
Para a viga com o carregamento mostrado, determinar: (a) a equação da linha elástica; (b) a declividade na extremidade A ; (c) a deflexão no ponto C .