Enunciado

Para a viga de madeira e o carregamento mostrados na figura, determine (a) a inclinação na extremidade A e (b) a deflexão no ponto médio C. Use E = 29.10 6 psi.

Passo 1

Opaa! Fala pessoal, beleza? Bora pra mais um?! Para resolver esse exercício, vamos utilizar a equação que governa a linha elástica, dada por:

E I . d 2 y d x 2 = M

Então, nós precisamos da equação para o momento da viga, vamos determinar essa equação com o auxílio das funções de singularidade vistas nesse capítulo, depois disso conseguimos integrar a expressão acima para obter a equação para a inclinação. Integrando novamente conseguimos obter a equação para a deflexão, aí só precisamos calcular o valor do momento de inércia para substituir os valores conhecidos nas equações que encontramos. Então bora lá!

Passo 2

Beleza! Vamos começar desenhando o DCL para o sistema, onde teremos:

Beleza! Vamos aplicar o somatório de momento em relação ao ponto D para descobrir o valor da reação no ponto A, então teremos:

+ ↻ ∑ M D = 0

A y 16 - 20 6 - 3 11 ( 5,5 ) = 0

A y = 18,84   k i p s

Agora, vamos aproveitar e pegar o momento de inércia para a viga W16 X 57, como não temos os valores para as unidades americanas no apêndice C do livro, recorrendo a internet, temos um momento de inércia para essa geometria de:

I = 758   i n 4 = 36,555.10 - 3   f t 4

Agora, sabendo que a derivada da equação de cisalhamento corresponde ao oposto do carregamento, podemos escrever:

d V d x = - w = - 3 < x - 5 > 0

d V d x = - 3 < x - 5 > 0

Passo 3

Agora, integrando essa expressão, teremos:

V = - 3 < x - 5 > 1 + C

Nesse caso, a constante C corresponde as forças localizadas aplicadas no sistema, como tomamos como referência do nosso sistema de coordenadas o ponto A, teremos a reação A y e a força de 20 kips, então nossa constante será:

C = A y - 20 < x - 10 > 0 = 18,844 - 20 < x - 10 > 0

Então a equação para o cisalhamento se torna:

V = - 3 < x - 5 > 1 + 18,844 - 20 < x - 10 > 0

Agora, nós sabemos também que a derivada da equação momento corresponde ao cisalhamento, ou seja:

d M d x = V

Então, substituindo a expressão encontrada para o cisalhamento nessa equação, temos:

d M d x = - 3 < x - 5 > 1 + 18,844 - 20 < x - 10 > 0

Integrando essa expressão, teremos:

M = - 1,5 < x - 5 > 2 + 18,844 x - 20 < x - 10 > 1 + C

Nesse caso, a constante C representa os momentos localizados aplicados no sistema, no nosso caso não temos nenhum, então teremos:

C = 0

Então nossa equação para o momento será:

M = - 1,5 < x - 5 > 2 + 18,844 x - 20 < x - 10 > 1

Passo 4

Agora nós podemos utilizar a equação que governa o regime elástico descrita lá no passo 1 e substituir a equação obtida para o momento, então teremos:

E I . d 2 y d x 2 = - 1,5 < x - 5 > 2 + 18,844 x - 20 < x - 10 > 1

Agora vamos integrar essa expressão, chegando em:

E I . d y d x = - 0,5 < x - 5 > 3 + 18,844 x 2 2 - 10 < x - 10 > 2 + C 1

Agora nós vamos integrar a equação novamente para obter a equação da deflexão, então teremos:

E I . y = - 0,5 4 < x - 5 > 4 + 18,844 x 3 6 - 10 3 < x - 10 > 3 + C 1 x + C 2

Passo 5

Beleza! Agora, para encontrar o valor das constantes C 1 e C 2 , nós vamos usar as condições de contorno que temos nos apoios, onde sabemos que não há deflexão, ou seja:

x = 0 → y = 0

x = 16   f t → y = 0

Substituindo a primeira condição na equação para a deflexão encontrada no passo 4, teremos:

E I . 0 = - 0,5 4 < 0 - 5 > 4 + 18,844 ( 0 ) 3 6 - 10 3 < 0 - 10 > 3 + C 1 0 + C 2

C 2 = 0

Agora, vamos utilizar a segunda condição de contorno para obter o valor de C 1 , então teremos:

E I . 0 = - 0,5 4 < 16 - 5 > 4 + 18,844 ( 16 ) 3 6 - 10 3 < 16 - 10 > 3 + C 1 ( 16 )

0 = - 1830,125 + 12864,17 - 720 + 16 C 1 → C 1 = - 644,63   k i p . f t 2

Então, a nossa equação para a linha elástica será:

E I . y = - 0,5 4 < x - 5 > 4 + 18,844 x 3 6 - 10 3 < x - 10 > 3 + C 1 x + C 2

y = 1 E I - 0,5 4 < x - 5 > 4 + 18,844 x 3 6 - 10 3 < x - 10 > 3 - 644,63 x

E a equação para a inclinação será:

E I . d y d x = - 0,5 < x - 5 > 3 + 18,844 x 2 2 - 10 < x - 10 > 2 + C 1

d y d x = 1 E I - 0,5 < x - 5 > 3 + 18,844 x 2 2 - 10 < x - 10 > 2 - 644,63

Passo 6

Agora para a letra (a), para determinar a inclinação na extremidade A, vamos utilizar a equação para a inclinação obtida no passo 5 e calcular em x = 0 , então teremos:

d y d x = 1 E I - 0,5 < 0 - 5 > 3 + 18,844 ( 0 ) 2 2 - 10 < 0 - 10 > 2 - 644,63

d y d x = 1 29.10 3 758 - 644,63 . ( 12 2 ) → d y d x = - 4,223.10 - 3   r a d

Observe que multiplicamos o termo 644,63 por 12², isso para converter a unidade ft² para in² para poder simplificar com o termo I que está em in. Quase lá em, falta só a (b) agora!

Passo 7

Agora, para a letra (b), vamos usar a equação da linha elástica que encontramos lá no passo 5 e calcular para o ponto C em x = 10   f t , então teremos:

y = 1 E I - 0,5 4 < 10 - 5 > 4 + 18,844 10 3 6 - 10 3 < 10 - 10 > 3 - 644,63 ( 10 )

y = 1 29.10 3 758 - 78,125 ( 12 2 ) + 3140,67 ( 12 2 ) - 0 - 6446,3 12 2

y = - 0,0222   f t

Observe que multiplicamos os termos dentro do parênteses por 12², isso para converter a unidade ft² para in² para poder simplificar com o termo I que está em in, obtendo o valor final em ft. Prooonto! Terminamos mais um, valeeu!

Resposta

a : d y d x = - 4,223.10 - 3   r a d

b : y = - 0,0222   f t

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A barra rígida B D E é soldada ao ponto B da viga constituída do perfil laminado de aço A C . Para o carregamento mostrado, determinar: (a) a declividade no ponto B ; (b) a deflexão no ponto B . Usar
Para a viga com o carregamento mostrado, determinar (a) a declividade em B ; (b) a deflexão em C . Usar E = 200 G P a .
Sabendo-se que a viga A D é feita de aço, determinar: (a) a declividade em A ; (b) a deflexão em B . Usar E = 200G P a .
As barras rígidas B F e D H são soldadas ao perfil laminado de aço A E , como mostrado. Sabendo-se que c = 150 m m , determinar para o carregamento indicado: (a) a deflexão no ponto B ; (b) a deflexão
Para a viga com o carregamento mostrado, determinar (a) a declividade em A ; (b) a deflexão em B . Usar E = 200 G P a .