Enunciado

Para a viga de madeira e o carregamento mostrados na figura, determine (a) a inclinação na extremidade A e (b) a deflexão no ponto médio C. Use E = 200 GPa.

Passo 1

Opaa! Fala pessoal, beleza? Bora pra mais um?! Para resolver esse exercício, vamos utilizar a equação que governa a linha elástica, dada por:

E I . d 2 y d x 2 = M

Então, nós precisamos da equação para o momento da viga, vamos determinar essa equação com o auxílio das funções de singularidade vistas nesse capítulo, depois disso conseguimos integrar a expressão acima para obter a equação para a inclinação. Integrando novamente conseguimos obter a equação para a deflexão, aí só precisamos calcular o valor do momento de inércia para substituir os valores conhecidos nas equações que encontramos. Então bora lá!

Passo 2

Beleza! Vamos começar desenhando o DCL para o sistema, onde teremos:

Beleza! Vamos aplicar o somatório de momento em relação ao ponto B para descobrir o valor da reação no ponto A, então teremos:

+ ↻ ∑ M B = 0

A y 2 - 48 1 2 1 + 2 3 1 - 8 1 = 0

A y = 24   k N

Agora, vamos aproveitar e pegar o momento de inércia para a viga I130 X 15 lá no apêndice C do livro, de onde teremos:

I = 5,12.10 6   m m 4 = 5,12.10 - 6   m 4

Agora, como temos um carregamento distribuído na nossa viga que não vai até o final dela, nós precisamos desenhar um carregamento equivalente para que possamos usar as funções de singularidade. Então o carregamento equivalente será:

Agora, sabendo que a derivada da equação de cisalhamento corresponde ao oposto do carregamento, podemos escrever:

d V d x = - w = - 48 - 48 x + 48 < x - 1 > 1

d V d x = - 48 + 48 x - 48 < x - 1 > 1

Passo 3

Agora, integrando essa expressão, teremos:

V = - 48 x + 24 x 2 - 24 < x - 1 > 2 + C

Nesse caso, a constante C corresponde as forças localizadas aplicadas no sistema, como tomamos como referência do nosso sistema de coordenadas o ponto A, teremos a reação A y e a força de 8 kN, então nossa constante será:

C = A y - 8 < x - 1 > 0 = 24 - 8 < x - 1 > 0

Então a equação para o cisalhamento se torna:

V = - 48 x + 24 x 2 - 24 < x - 1 > 2 + 24 - 8 < x - 1 > 0

Agora, nós sabemos também que a derivada da equação momento corresponde ao cisalhamento, ou seja:

d M d x = V

Então, substituindo a expressão encontrada para o cisalhamento nessa equação, temos:

d M d x = - 48 x + 24 x 2 - 24 < x - 1 > 2 + 24 - 8 < x - 1 > 0

Integrando essa expressão, teremos:

M = - 24 x 2 + 8 x 3 - 8 < x - 1 > 3 + 24 x - 8 < x - 1 > 1 + C

Nesse caso, a constante C representa os momentos localizados aplicados no sistema, no nosso caso não temos nenhum, então teremos:

C = 0

Então nossa equação para o momento será:

M = - 24 x 2 + 8 x 3 - 8 < x - 1 > 3 + 24 x - 8 < x - 1 > 1

Passo 4

Agora nós podemos utilizar a equação que governa o regime elástico descrita lá no passo 1 e substituir a equação obtida para o momento, então teremos:

E I . d 2 y d x 2 = - 24 x 2 + 8 x 3 - 8 < x - 1 > 3 + 24 x - 8 < x - 1 > 1

Agora vamos integrar essa expressão, chegando em:

E I . d y d x = - 8 x 3 + 2 x 4 - 2 < x - 1 > 4 + 12 x 2 - 4 < x - 1 > 2 + C 1

Agora nós vamos integrar a equação novamente para obter a equação da deflexão, então teremos:

E I . y = - 2 x 4 + 2 x 5 5 - 2 5 < x - 1 > 5 + 4 x 3 - 4 3 < x - 1 > 3 + C 1 x + C 2

Passo 5

Beleza! Agora, para encontrar o valor das constantes C 1 e C 2 , nós vamos usar as condições de contorno que temos nos apoios, onde sabemos que não há deflexão, ou seja:

x = 0 → y = 0

x = 2   m → y = 0

Substituindo a primeira condição na equação para a deflexão encontrada no passo 4, teremos:

E I . 0 = - 2 ( 0 ) 4 + 2 ( 0 ) 5 5 - 2 5 < 0 - 1 > 5 + 4 ( 0 ) 3 - 4 3 < 0 - 1 > 3 + C 1 0 + C 2

C 2 = 0

Agora, vamos utilizar a segunda condição de contorno para obter o valor de C 1 , então teremos:

E I . 0 = - 2 ( 2 ) 4 + 2 ( 2 ) 5 5 - 2 5 < 2 - 1 > 5 + 4 ( 2 ) 3 - 4 3 < 2 - 1 > 3 + C 1 ( 2 )

0 = - 32 + 12,8 - 0,4 + 32 - 1,333 + 2 C 1 → C 1 = - 5,533   k N . m 2

Então, a nossa equação para a linha elástica será:

E I . y = - 2 x 4 + 2 x 5 5 - 2 5 < x - 1 > 5 + 4 x 3 - 4 3 < x - 1 > 3 + C 1 x + C 2

y = 1 E I - 2 x 4 + 2 x 5 5 - 2 5 < x - 1 > 5 + 4 x 3 - 4 3 < x - 1 > 3 - 5,533 x

E a equação para a inclinação será:

E I . d y d x = - 8 x 3 + 2 x 4 - 2 < x - 1 > 4 + 12 x 2 - 4 < x - 1 > 2 + C 1

d y d x = 1 E I - 8 x 3 + 2 x 4 - 2 < x - 1 > 4 + 12 x 2 - 4 < x - 1 > 2 - 5,53 3

Passo 6

Agora para a letra (a), para determinar a inclinação na extremidade A, vamos utilizar a equação para a inclinação obtida no passo 5 e calcular em x = 0 , então teremos:

d y d x = 1 E I - 8 0 3 + 2 0 4 - 2 < 0 - 1 > 4 + 12 ( 0 ) 2 - 4 < 0 - 1 > 2 - 5,533

d y d x = 1 200 . 10 9 5,12.10 - 6 - 5,53 3 . ( 1000 ) → d y d x = - 5,4 . 10 - 3   r a d

Observe que multiplicamos o termo 5,533 por 1000, isso para converter a unidade kN para N. Quase lá em, falta só a (b) agora!

Passo 7

Agora, para a letra (b), vamos usar a equação da linha elástica que encontramos lá no passo 5 e calcular para o ponto C em x = 1   m , então teremos:

y = 1 E I - 2 1 4 + 2 1 5 5 - 2 5 < 1 - 1 > 5 + 4 1 3 - 4 3 < 1 - 1 > 3 - 5,533 ( 1 )

y = 1 200 . 10 9 5,12.10 - 6 - 2 1000 + 0,4 1000 - 0 + 4 1000 - 0 - 5 , 53 3 1000

y = - 3,06.10 - 3   m

Observe que multiplicamos os termos dentro dos parênteses por 1000, isso para converter a unidade kN para N. Prooonto! Terminamos mais um, valeeu!

Resposta

a : d y d x = - 5,4.10 - 3   r a d

b : y = - 3,06.10 - 3   m

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Para a viga constituída de um perfil laminado de aço W 5 30 × 66 e o carregamento mostrado, determinar: ( a ) a declividade na extremidade A ; ( b ) a deflexão no ponto médio C . Usar E = 200G P a .