Enunciado

Para a viga de madeira e o carregamento mostrados na figura, determine (a) a reação no apoio móvel (b) a deflexão no ponto C.

Passo 1

Opaa! Fala pessoal, beleza? Bora pra mais um?! Para resolver esse exercício, vamos utilizar a equação que governa a linha elástica, dada por:

E I . d 2 y d x 2 = M

Então, nós precisamos da equação para o momento da viga, vamos determinar essa equação com o auxílio das funções de singularidade vistas nesse capítulo, depois disso conseguimos integrar a expressão acima para obter a equação para a inclinação. Integrando novamente conseguimos obter a equação para a deflexão, aí só precisamos calcular o valor do momento de inércia para substituir os valores conhecidos nas equações que encontramos. Então bora lá!

Passo 2

Beleza! Vamos começar desenhando o DCL para o sistema, onde teremos:

Beleza! Vamos aplicar o somatório de momento em relação ao ponto A para descobrir o valor do momento no engaste A, então teremos:

+ ↻ ∑ M A = 0

- M A + P L 2 - B y ( L ) = 0

M A = P L 2 - B y L

Agora vamos aplicar o somatório das forças na direção y para encontrar uma expressão para a reação no engaste A, então temos:

+ ↑ ∑ F y = 0

A y - P + B y = 0 → A y = P - B y

Agora podemos escrever a equação de singularidade para o cisalhamento na viga, onde teremos:

V = A y - P < x - L 2 > 0

Passo 3

Agora, nós sabemos também que a derivada da equação momento corresponde ao cisalhamento, ou seja:

d M d x = V

Então, substituindo a expressão encontrada para o cisalhamento nessa equação, temos:

d M d x = A y - P < x - L 2 > 0

Integrando essa expressão, teremos:

M = A y x - P < x - L 2 > 1 + C

Nesse caso, a constante C representa os momentos localizados aplicados no sistema, no nosso caso temos o momento no engaste em A, então teremos:

C = - M A

Então nossa equação para o momento será:

M = A y x - P < x - L 2 > 1 - M A

Passo 4

Agora nós podemos utilizar a equação que governa o regime elástico descrita lá no passo 1 e substituir a equação obtida para o momento, então teremos:

E I . d 2 y d x 2 = A y x - P < x - L 2 > 1 - M A

Agora vamos integrar essa expressão, chegando em:

E I . d y d x = A y x 2 2 - P 2 < x - L 2 > 2 - M A x + C 1

Agora, para descobrir o valor de C 1 vamos utilizar a equação de contorno no engaste onde sabemos que não temos inclinação, ou seja:

x = 0 → d y d x = 0

Substituindo esses valores na equação para a inclinação, teremos:

E I . 0 = A y 0 2 2 - P 2 < 0 - L 2 > 2 - M A 0 + C 1 → C 1 = 0

Agora nós vamos integrar a equação da inclinação para obter a equação da deflexão, então teremos:

E I . y = A y x 3 6 - P 6 < x - L 2 > 3 - M A x 2 2 + C 2

Passo 5

Beleza! Agora, para encontrar o valor da constante C 2 , nós vamos usar outra condição de contorno no engaste, agora sabendo que não temos deflexão nesse ponto, teremos:

x = 0 → y = 0

Substituindo essa condição na equação para a deflexão encontrada no passo 4, teremos:

E I . 0 = A y ( 0 ) 3 6 - P 6 < 0 - L 2 > 3 - M A ( 0 ) 2 2 + C 2

C 2 = 0

Então, a equação para a linha elástica será:

E I . y = A y x 3 6 - P 6 < x - L 2 > 3 - M A x 2 2 + C 2

y = 1 E I A y x 3 6 - P 6 < x - L 2 > 3 - M A x 2 2

E a equação para a inclinação será:

E I . d y d x = A y x 2 2 - P 2 < x - L 2 > 2 - M A x + C 1

d y d x = 1 E I A y x 2 2 - P 2 < x - L 2 > 2 - M A x

Passo 6

Agora para a letra (a), para determinar a reação no apoio móvel, vamos utilizar a equaç��o para a deflexão obtida no passo 5 e calcular em x = L , pois sabemos que nesse ponto temos a seguinte condição de contorno:

x = L → y = 0

Substituindo essa condição de contorno na equação da deflexão e substituindo as expressões para A y e M A , teremos:

0 = 1 E I ( P - B y ) L 3 6 - P 6 < L - L 2 > 3 - P L 2 - B y L L 2 2

0 = 1 E I P L 3 6 - B y L 3 6 - P L 3 48 - P L 3 4 + B y L 3 2 → B y L 3 6 - B y L 3 2 = P L 3 6 - P L 3 48 - P L 3 4

B y = 0,3125 P

Quase lá em, falta só a (b) agora!

Passo 7

Agora, para a letra (b), vamos usar a equação da linha elástica que encontramos lá no passo 5 e calcular para o ponto C em x = L / 2 , lembrando de substituir também as expressões para A y e M A encontradas no passo 2, então teremos:

y = 1 E I P - B y L 2 3 6 - P 6 < L 2 - L 2 > 3 - P L 2 - B y L L 2 2 2

y = 1 E I P L 3 48 - 0,3125 P L 3 48 - 0 - P L 3 16 + 0,3125 P L 3 8

y = - 9 , 1 1.10 - 3 P L 3 E I

Prooonto! Terminamos mais um, valeeu!

Resposta

a : B y = 0,3125 P

b : y = - 9,11.10 - 3 P L 3 E I

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Para a viga com carregamento mostrado, determinar: ( a ) a deflexão no ponto C ; ( b ) a declividade na extremidade A .
Para a viga com o carregamento mostrado, determinar (a) a declividade em A ; (b) a deflexão em C . Usar E = 200 G P a .
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Para a viga com o carregamento mostrado, determinar (a) a declividade em B ; (b) a deflexão em A . Usar E = 200 G P a .