Enunciado

Uma viga simples com um carregamento uniforme está suportada por pino em uma extremidade e por mola na outra (veja a figura). A mola tem uma rigidez k = 48 E I / L 3 . Derivar a equação da curva de deflexão iniciando com a equação de terceira ordem (a equação da força de cisalhamento). Determinar também o ângulo de rotação θ A no suporte A.

Passo 1

Bora lá galera!

Mais um exemplo de viga simples, só que dessa vez temos a presença de uma mola em um dos apoios. Como para esse carregamento temos um vetor no centro da viga que é F = q ⋅ L , as reações de apoio consequentemente serão:

R A =   q ⋅ L 2 e R B =   q ⋅ L 2

Com isso, a deformação em B será:

δ B = R B k =   q ⋅ L 2 48 E I L 3 =   q ⋅ L 4 96 E I

V =   R A - q x = q 2 ⋅ L - 2 x

E ⋅ I ⋅ v ' ' ' =   V = q 2 ⋅ L - 2 x Eq. (1)

E ⋅ I ⋅ v ' ' =   q 2 ⋅ L x - x 2 +   C 1 Eq. (2)

Aplicando as velhas e conhecidas condições de contorno e integrando, temos que:

Condição de contorno - 1

E ⋅ I ⋅ v ' ' =   M

E ⋅ I ⋅ v ' ' 0 =   0

  C 1 = 0

Substituindo na equação 2, temos que:

E ⋅ I ⋅ v ' ' =   q 2 ⋅ L x - x 2 +   0

E ⋅ I ⋅ v ' =   q 2 ⋅ L   x 2 2 -   x 3 3 +   C 2 Eq. (3)

E ⋅ I ⋅ v =   q 2 ⋅ L   x 3 6 -   x 4 12 +   C 2 x + C 3 Eq. (4)

Condição de contorno - 2

v 0 = 0 e C 3 = 0

Condição de contorno - 3

v L = - δ B =   q ⋅ L 4 96 E I e C 2 = - 5 ⋅ q ⋅ L 3 96 E I

Passo 2

Com isso meus caros, aplicamos essas condições na equação 4 e temos que:

E ⋅ I ⋅ v =   q 2 ⋅ L   x 3 6 -   x 4 12 +   - 5 ⋅ q ⋅ L 3 96 E I x + 0

v =   -   q x 96 E I ⋅ 5 L 3 - 8 L x 2 + 4 x 3

Derivando a equação da curva de deflexão, ficamos com:

v ' = -   q 96 E I ⋅ 5 L 3 - 24 L x 2 + 16 x 3

E, portanto, o ângulo de rotação em A será:

θ A =   - v ' 0 = - -   q 96 E I ⋅ 5 L 3 - 24 L x 2 + 16 x 3 =   q 96 E I ⋅ 5 L 3 - 24 L ⋅ 0 2 + 16 ⋅ 0 3  

θ A =   5 q L 3 96 E I

Essa questão foi, heim... Bora pra próxima?

Resposta

v =   -   q x 96 E I ⋅ 5 L 3 - 8 L x 2 + 4 x 3

θ A =   5 q L 3 96 E I

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