Responde Aí

Enunciado

A viga simples A B mostrada na figura tem momentos 2 M 0 e M 0 atuando nas extremidades. Derivar a equação da curva de deflexão e então determinar a deflexão máxima δ m a x . Use a equação diferencial de terceira ordem da curva de deflexão (a equação da força de cisalhamento).

Passo 1

Bora lá galera!

Mais um exemplo de viga simples, vamos calcular as reações de apoio:

R A =   3   M 0 L

V =   -   3   M 0 L

E ⋅ I ⋅ v ' ' ' =   V = -   3   M 0 L   Eq. (1)

E ⋅ I ⋅ v ' ' =   -   3   M 0   x L +   C 1 Eq. (2)

Aplicando as velhas e conhecidas condições de contorno e integrando, temos que:

Condição de contorno - 1

E ⋅ I ⋅ v ' ' =   M

E ⋅ I ⋅ v ' ' 0 =   2   M 0

  C 1 = 2   M 0

Substituindo na equação 2, temos que:

E ⋅ I ⋅ v ' ' =   -   3   M 0   x L +   2   M 0

E ⋅ I ⋅ v ' =   -   3   M 0   x 2 2   L +   2   M 0   x + C 2   Eq. (3)

E ⋅ I ⋅ v =   -     M 0   x 3 2   L +     M 0   x 2 + C 2   x +   C 3 Eq. (4)

Condição de contorno - 2

v 0 = 0 e C 3 = 0

Condição de contorno - 3

v L = 0 e C 2 = - M 0   L 2

Passo 2

Com isso meus caros, aplicamos essas condições na equação 4 e temos que:

v = -   M 0 ⋅ x 2 ⋅ L ⋅ E ⋅ I ⋅ L 2 - 2   L   x + x 2 = -   M 0 ⋅ x 2 ⋅ L ⋅ E ⋅ I ⋅ L - x 2

Derivando a equação da curva de deflexão, ficamos com:

v ' = -   M 0 2 ⋅ L ⋅ E ⋅ I ⋅ L - x ⋅ ( L - 3 x )

Para que essa inclinação seja 0 e que se tenha uma máxima deflexão, x deve ser ou L , ou L / 3 . Se x for L , a deflexão máxima também será 0 . Então devemos substituir o x por L / 3 na equação da curva de deflexão para que finalmente possamos determinar a deflexão máxima δ m a x .

δ m a x = - v L 3 = -   -   M 0 ⋅ L / 3 2 ⋅ L ⋅ E ⋅ I ⋅ L - L / 3 2

δ m a x =   2 ⋅ M 0 ⋅ L 2 27 ⋅ E ⋅ I

Essa questão foi, heim... Bora pra próxima?

Resposta

v = -   M 0 ⋅ x 2 ⋅ L ⋅ E ⋅ I ⋅ L - x 2

δ m a x =   2 ⋅ M 0 ⋅ L 2 27 ⋅ E ⋅ I