Enunciado

Uma viga simples A B está submetida a um carregamento distribuído de intensidade q =   q 0   s e n   π x / L , em que q 0 é a máxima intensidade do carregamento (veja a figura). Derivar a equação da curva de deflexão e então determinar a deflexão δ m a x no ponto médio da viga. Use a equação diferencial de quarta ordem da curva de deflexão (a equação do carregamento).

Passo 1

Bora lá galera!

Viga simples com uma carga senoidal:

E ⋅ I ⋅ v ' ' ' ' =   - q = - q 0   s e n π x L   Eq. (1)

E ⋅ I ⋅ v ' ' ' =   q 0 L π   c o s π x L +   C 1 Eq. (2)

  E ⋅ I ⋅ v ' ' =   q 0   L π 2 s e n π x L + C 1 x + C 2 Eq. (3)

Aplicando as velhas e conhecidas condições de contorno e integrando, temos que:

Condição de contorno - 1

E ⋅ I ⋅ v ' ' =   M

E ⋅ I ⋅ v ' ' ( 0 ) =   0

  C 2 = 0

Condição de contorno - 2

E ⋅ I ⋅ v ' ' ( L ) =   0 e C 1 = 0

E ⋅ I ⋅ v ' =   - q 0   L π 3 c o s π x L +   C 3

E ⋅ I ⋅ v = -   q 0   L π 4 s e n π x L + C 3 x + C 4 Eq. (4)

Condição de contorno - 3

v 0 = 0 e C 4 = 0

Condição de contorno - 4

v L = 0 e C 3 = 0

Passo 2

Com isso meus caros, aplicamos essas condições na equação 4 e temos que:

v = -   q 0 ⋅ L 4 π 4 ⋅ E ⋅ I ⋅ s e n π x L

E como no enunciado nos pede para determinarmos a deflexão no ponto médio da viga, basta substituirmos o x por L / 2

δ m a x =   - v ( L / 2 )

δ m a x = - -   q 0 ⋅ L 4 π 4 ⋅ E ⋅ I ⋅ s e n π ⋅ ( L / 2 ) L

δ m a x =   q 0 ⋅ L 4 π 4 ⋅ E ⋅ I

Essa questão foi, heim... Bora pra próxima?

Resposta

v = -   q 0 ⋅ L 4 π 4 ⋅ E ⋅ I ⋅ s e n π x L

δ m a x =   q 0 ⋅ L 4 π 4 ⋅ E ⋅ I

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