Enunciado

Visto que o concreto só pode suportar pouca ou nenhuma tração, esse problema pode ser evitado se o concreto for protendido com cabos ou hastes. Considere a viga simplesmente apoiada mostrada na figura, que tem seção transversal retangular de 450   mm por 300   mm . Se o peso específico do concreto for 24   kN/m 3 , determine a tração exigida na haste A B , que se estende por toda a viga, de modo que nenhuma tensão de tração seja desenvolvida na seção central a - a da viga. Despreze o tamanho da haste e qualquer deflexão da viga.

Passo 1

Fala aí galerinha do RespondeAí, tudo belezinha?! Vamos entender o que está acontecendo.

A uma viga de concreto sobre dois apoios simples possui uma haste A B que serve para aliviar a viga de qualquer tração.

Características da viga:

  • Comprimento: 2,4   m .
  • Largura: 450   mm .
  • Espessura: 300   mm .
  • Peso específico: ρ = 24   kN/m 3 .
  • Características da haste A B :

  • Posição do centro: a 50   mm dos apoios (altura na seção) e no meio da seção transversal.
  • O enunciado disse para desprezar o tamanho dela. Então, não vamos considerar o diâmetro dela como desprezível.

O peso da viga irá forçá-la para baixo. Queremos saber qual tração T deve ter na haste A B para que na seção a - a não tenhamos tração na viga!

Primeiro precisamos saber quais são os esforços ( F ) na seção transversal a - a . Aí a gente vê o que precisamos para a tração ser zero!

Passo 2

Vamos ver uma seção da viga indo da extremidade na direita até a seção transversal a - a .

Fique atento que a reação T trazida pela haste A B age a 50   mm de altura, então a distância dessa força até o centro da seção é 450 / 2 - 50 = 175   mm .

O peso da viga atua no meio da seção. A intensidade vai ser o volume dessa seção (a área transversal A vezes 1,2   m ) vezes o peso específico ( ρ ) .

O diagrama de corpo livre vai nos mostrar como as forças agem.

Queremos zerar a tração na direção x . Dois efeitos causam essa tensão na seção a - a : um devido a F x e outro devido a M . Cuidado para não se confundir no sinal! Raciocine pensando nas direções que você assumiu no diagrama!

  • F x comprime nossa seção.
  • M causa compressão para y < 0 e tração para y > 0 (eixo neutro no centro da viga).

O balanço da tensão na direção x para que a tensão do momento para y > 0 seja positiva é e para que F x cause compressão é:

σ x = - F x A + M y I

A tração só vai ocorrer em y > 0 . Para não ter tração, o valor máximo dela tem que ser cancelado pela compressão. O valor máximo de tração ocorre em y = 450 / 2 = 225   mm .

0 = - F x A + M × 225   mm I

Beleza! A área A e o segundo momento de área I a gente tem como calcular. Então precisamos descobrir quem é F x e M , e achar o que isso tem a ver com a tração T da haste A B .

Passo 3

Condições de equilíbrio! Olhe pra figura no Passo 2 . Forças na horizontal:

∑ F x = 0       →         F x = T

Show! O T que queremos já entrou na história!

O equilíbrio de forças na vertical não vai nos ajudar. Vamos ver o equilíbrio de momentos na seção a - a

∑ M O = 0       →         M - 0,6   m ⋅ 1,2   m × A ρ + 1,2   m × R y - 175   mm ⋅ T = 0

M = 0,175 T + 0,72   A ρ - 1,2   R y

Se calcularmos o R y , teremos o F x e o M dependendo só de T . É tudo que a gente quer!

Para achar R y   é só lembrar que a reação vertical dos apoios tem que aguentar o peso da viga, e a reação em cada apoio é a mesma por causa da simetria. Fazendo o equilíbrio para a toda viga:

∑ F y = 0       →         2 R y = 2,4   A ρ

Aproveita e calcula logo a área transversal:

A = 0,450 ⋅ 0,300   = 0,135   m 2

A = 0,135   m 2  

Como ρ = 24   kN/m 3 :

      R y = 1,2   A ρ → R y = 3,888   kN

Voltando ao momento:

R y = 3,888   kN       →         M = 0,175   T + 2,3328   kNm - 4,6656   kNm

M = 0,175   T - 2,3328   10 3

Agora só temos uma incógnita ( T ) , só falta fazer umas continhas.

Passo 4

Voltando à equação que queremos forçar ser verdade, substitua F x = T , M = 175   mm ⋅ T - 2,3328   kNm e o valor da área:

0 = - T 0,135 + ( 0,175   T - 2,3328   10 3 ) ⋅ 0,225 I

Ah, ainda temos que calcular o momento de área I ! Queremos ele em relação ao centro do retângulo (eixo neutro). Usando a fórmula:

I x = 1 12 ⋅ 300   mm ⋅ 450   mm 3 = 2,278125 ⋅ 10 - 3   m 4

Bora, só fazer as contas. Cuidado com as unidades!

0 = - T 0,135 + ( 0,175   T - 2,3328   10 3 ) ⋅ 0,225 2,278125 ⋅ 10 - 3

T = 23,328   kN

Obs: Aqui deu diferente do gabarito, mas está certinho, pode confiar hehe!

Resposta

Tração na haste A B :   T = 23,328   kN .

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