Entropia

Teoria Completa

Entropia

A entropia pode ser associada ao grau de desordem de um sistema, mas como que vamos calcular o valor da entropia?

Lembra que a entropia é uma propriedade? Claro né! Então ela não vai depender do caminho, se é reversível ou irreversível, porque uma propriedade depende apenas do ponto final.

Para a situação de um ciclo reversível temos que

∮ δ Q T = 0

Logo, a integral ∫ δ Q T é a mesma para todos os caminhos reversíveis. Assim a entropia S será definida como

d S = δ Q T r e v

Onde d S é uma variação infinitesimal da entropia, δ Q uma variação infinitesimal do calor (oberseve que utilizamos esse delta diferente porque o calor depende do caminho, enquanto a entropia não) e T a temperatura na qual toda essa desgraça acontece!

No caso de um processo irreversível

d S > δ Q T i r r

É importante notar que a entropia é definida segundo caminhos reversíveis, porém como todas as propriedades, depende apenas do ponto inicial e final. Assim, um determinado estado terá sempre a mesma entropia!

A variação da entropia pode ser calculada da seguinte forma, nesse caso deve-se utilizar um caminho reversível, porque a igualdade só existe no caso reversível (se fosse irreversível seria uma desigualdade e não teria como saber o valor exato). Além disso, vimos que a entropia não depende do processo (caminho) e sim dos pontos inicial e final.

d S = δ Q T r e v

Ao integrar dos dois lados vamos ter

S 2 - S 1 = ∫ 1 2 δ Q T r e v

Vamos fazer um exemplo que simplifique tudo isso!

Exemplo

Abaixo está representado um ciclo gerador de potência. Vamos ver se este ciclo obedece à desigualdade de Clausius.

A desigualdade é dada por

∮ δ Q T ≤ 0

Logo temos que calcular a integral cíclica da troca de calor pela temperatura. Como só há troca de calor na caldeira e no condensador podemos escrever a integral da seguinte forma

∮ δ Q T = ∫ δ Q T c a l d e i r a + ∫ δ Q T c o n d e n s a d o r

Como a temperatura é constante, tanto na caldeira quanto no condensador, podemos retira-la de dentro da integral.

∮ δ Q T = 1 T 1 ∫ 1 2 δ Q + 1 T 3 ∫ 3 4 δ Q = Q 1 - 2 T 1 + Q 3 - 4 T 3

Como todas as propriedades em 1 e 3 estão definidas podemos achar, pela tabela de saturação da água, as temperaturas T 1 e T 3 que são respectivamente 164,97°C e 53,97°C.

Além disso precisamos agora do calor trocado, neste exemplo podemos utilizar a quantidade de calor pela massa q que é igual a variação da entalpia (que também é dada na tabela de saturação da água) entre os equipamentos, portanto:

As entalpias dos estados 1 e 2 são iguais, respectivamente, a entalpia do líquido saturado e do vapor saturado ambos a temperatura de 164,97°C.

h 1 = 697,3   k J / k g

h 2 = 2763,6   k J / k g

q 1 - 2 = h 2 - h 1 = 2066,3   k J / k g

Agora se segura e presta atenção!

Para calcular as entalpias dos estados 3 e 4 precisamos utilizar a equação:

h = h l + x ⋅ h l v

Onde h l é a entalpia do líquido saturado, h l v a entalpia de vaporação e x o título:

h 3 = 230,2 + 0,9 ⋅ 2370,7 = 2363,83   k J / k g

h 4 = 230,2 + 0,1 ⋅ 2370,7 = 467,27   k J / k g

q 3 - 4 = h 4 - h 3 = 467,27 - 2363,83 = - 1896,56   k J / k g

Substituindo e lembrando que temos que utilizar a temperatura em kelvin (somar 273):

∮ δ q T = q 1 - 2 T 1 + q 3 - 4 T 3 = 2066,3 ( 164,97 + 273 ) - - 1896,56 ( 53,97 + 273 ) = - 1,087 k J / k g

Logo, como a desigualdade resultou num valor negativo temos que ela foi satisfeita e trata-se de um ciclo irreversível.

Uma importante observação é o fato de termos utilizado a quantidade de calor específico q , ao invés do calor absoluto. Isso pode ser feito porque como a massa é sempre positiva e, portanto, não alteraria a avaliação final do problema. Mas para ser rigorosamente correto deve-se multiplicar o resultado final à massa fornecida no problema, como neste caso não era necessário a massa também não foi fornecida.

Princípio do aumento da Entropia

Vimos que a entropia, diferentemente das outras propriedades, é definida por uma desigualdade para processos reversíveis. Observando que a variação de entropia para um sistema é

d S s i s t e m a ≥ δ Q T

E para o meio será igual a

d S m e i o = - δ Q T

Isso acontece porque o calor trocado com o meio tem o sinal trocado em relação ao do sistema, o que sai de um entra no outro e vice-versa, além disso as irreversibilidades se encontram no sistema e não no meio. Por isso há uma igualdade ao invés de uma inequação.

Ao somarmos essas duas equações obtemos

d S l i q = d S s i s t e m a + d S m e i o ≥ 0

Portanto, a entropia total do sistema + o meio terá sempre uma variação positiva para processos irreversíveis ou zero para processos reversíveis. Nunca podendo ser negativa!

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Exercício Resolvido #1

Formulação própria

Explique porque muitas vezes as pessoas falam que a entropia só tende a aumentar. Isso é sempre verdade?

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Resposta

A entropia é uma propriedade da substância e dependendo do estado desta substância a entropia pode ser maior ou menor. Ou seja, a entropia de um sistema pode sim diminuir.

Porém para que ocorra essa diminuição algo deve ocorrer nesse sistema, como por exemplo perder calor ou realizar trabalho, com isso o meio externo ou ganha calor ou ganha trabalho, recebendo assim energia de uma forma ou de outra.

Quando falamos de entropia líquida ou global, estamos falando da soma da variação da entropia do meio com o sistema. Nesse caso a entropia realmente tende apenas a aumentar ou, no caso de processos reversíveis, se manter constante. Isso ocorre por causa da desigualdade de Clausius.

d S s i s t e m a ≥ δ Q T

d S m e i o = - δ Q T

d S l i q = d S s i s t e m a + d S m e i o ≥ 0

Exercício Resolvido #2

Elaboração própria

Um copo d’água, com 200 gramas de água líquida, é aquecido da temperatura de 20°C até a temperatura de 80°C por meio de uma fonte de calor que se encontra a 600K. Sabendo que a entropia da água a 20°C era de 0,06 k J K e ao final do aquecimento a entropia era de 0,24 k J K . Calcule a irreversibilidade deste processo, ou seja, a quantidade de entropia gerada. Dado: c á g u a = 4,2 k J k g   ° C

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Passo 1

Para resolver essa questão temos de lembrar que a variação da entropia é dada pela desigualdade de Clausius na forma:

Δ S ≥ ∮ δ Q T

Onde, no caso reversível, vamos ter

Δ S = ∮ δ Q T

Podemos ainda considerar que para o caso irreversível teremos:

Δ S = ∮ δ Q T + S g e r

Passo 2

Agora basta substituir os valores na equação e para isso calcular a quantidade de calor que a água recebeu

δ Q = m ⋅ c ⋅ Δ T

δ Q = 0,2 ⋅ 4,2 ⋅ 80 - 20 = 50,4   k J

Passo 3

Substituindo

Δ S = 0,24 - 0,06 = 0,18 k J K

∮ δ Q T = 50,4 600 = 0,084 k J K

0,18 = 0,084 + S g e r

S g e r = 0,096 k J K

Resposta

S g e r = 0,096 k J K

Exercício Resolvido #3

Elaboração própria

Os equipamentos como, bombas e turbinas, são equipamentos que funcionam através de ciclos isentrópicos. Contudo, em sistemas reais é muito difícil haver de fato processos isentrópicos. Com este conceito em mente o termo eficiência isentrópica é aplicado a tais processos reais e definido como:

η i s e n t r ó p i c a = w r e a l w i d e a l

Com isso em mente, responda.

a) Qual a eficiência isentrópica de uma turbina ideal?

b) Um fluido possui entalpia igual a 3000 k J k g ⋅ K na entrada de um turbina e 2000 k J k g ⋅ K na saída. Sabendo que essa turbina, trabalhando num processo isentrópico, gera um trabalho específico de 1500 k J k g . Calcule a eficiência isentrópica da turbina no processo irreversível.

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Passo 1

A letra “a” pede a eficiência isentrópica de uma turbina ideal, ou seja, de um processo isentrópico, de um processo reversível. Temos, portanto, que o trabalho real e ideal são iguais:

η i s e n t r ó p i c a = w r e a l w i d e a l = 1 = 100 %

Passo 2

Na letra “b” devemos lembrar que, em turbinas e bombas, a variação da entalpia é igual ao trabalho, logo:

w r e a l = Δ h = 3000 - 2000 = 1000 k J k g ⋅ K

Não precisamos nos preocupar muito com o sinal, desde que lembremos que esse é um trabalho que sai do sistema!

O problema também forneceu o trabalho ideal da turbina

w i d e a l = 1500 k J k g ⋅ K

Passo 3

Basta aplicar a fórmula

η i s e n t r ó p i c o = w r e a l w i d e a l

η i s e n t r ó p i c o = 1000 1500 = 0,667 = 66,7 %