Pressão e Volume Específico

Teoria Completa

Volume específico v

É comum sentirmos falta de ar, quando estamos em lugares muito altos, como numa região serrana ou no topo de uma montanha. Por outro lado, a gente não sente esse problema em locais de altitude menor, como uma praia. Por que existe essa diferença, se o volume de ar, que o nosso pulmão consegue inspirar, é o mesmo nas duas situações?

Isso acontece, porque 1   k g de ar ocupa um volume maior em regiões mais elevadas, do que em lugares mais abaixo. Por causa disso, cabe menos ar no pulmão de quem está esquiando nas montanhas de Aspen, do que cabe em quem que passa férias em casa no Rio de Janeiro.

Isso é bem parecido com o cálculo da quantidade de malas que cabem em um porta-malas. O espaço do porta-malas (pulmão) não muda. Por isso, quanto maior o tamanho das malas (volume por unidade de massa do ar), menos malas eu posso levar pra viagem.

Esse volume ocupado por 1   k g de ar é um volume por unidade de massa. Ele é chamado de volume específico e é uma propriedade termodinâmica intensiva muito importante, porque mede a quantidade de massa que cabe em um determinado volume. Vimos pelo exemplo do ar, que quanto maior seu valor, menor a quantidade de ar dentro de um volume.

v = V m

onde:

  • V é o volume total do sistema que estamos estudando. Sua unidade no Sistema Internacional é m 3 (metro cúbico). Muitas vezes ele aparece nos exercícios em L (litro). Pra converter, precisamos saber que:
  • 1   L = 0,001   m 3

  • m é a massa total da região que estamos estudando. Sua unidade no Sistema Internacional é k g (quilograma).
  • v é o volume específico da substância que preenche a região estudada. Sua unidade no Sistema Internacional é m 3 / k g (metro cúbico por quilograma).
  • Já que temos essas informações, vamos praticar o cálculo do volume específico em um sistema fechado cheio de água!

    Queremos saber o volume específico da água dentro do conjunto cilindro-pistão, sabendo que o volume total do sistema vale 1   m 3 e sua massa é de 1000   k g .

    A gente pode substituir os valores de volume e massa do sistema direto na fórmula:

    v = V m = 1 1000 = 0,001   m 3 / k g

    Massa específica ρ

    Além do volume específico, existe uma outra variável que mede, se um volume está cheio de massa? Sim! Existem três outros jeitos de se calcular isso. Um deles é a massa específica. Ela também é chamada de densidade em alguns livros, mas na teoria chamaremos apenas de massa específica.

    ρ = m V

    onde:

  • ρ é a massa específica da substância que preenche o sistema estudado. Sua unidade no Sistema Internacional é k g / m 3 (quilograma por metro cúbico).
  • Se olharmos bem, a massa específica é o inverso do volume específico!

    ρ = m V = 1 V / m = 1 v

    Por isso, quanto maior o valor da massa específica, maior a quantidade de substância dentro de um volume. Isso é o contrário do que acontece com o volume específico.

    Usando o mesmo exemplo do cilindro-pistão, vamos calcular a massa específica da água que enche o espaço. Substituindo os valores de volume e massa do sistema direto na fórmula:

    ρ = m V = 1000 1 = 1000   k g / m 3

    Volume específico molar v -

    Como foi dito antes, existe uma terceira forma de medir, se um volume está cheio de massa ou não: através do cálculo do volume específico molar.

    v - = V n

    onde:

  • n é o número de mol de substância contida no sistema que estamos estudando. Sua unidade no Sistema Internacional é o m o l , mas ele também aparece nos exercícios em k m o l (quilomol).
  • v - é o volume específico molar da substância que preenche a região estudada. Sua unidade no Sistema Internacional é m 3 / m o l (metro cúbico por mol), mas ele também aparece nos exercícios em m 3 / k m o l (metro cúbico por quilomol).
  • Atenção! É muito importante notar que sempre que a propriedade tiver o traço acima de seu símbolo - , ela será uma propriedade molar!

    Quando os valores do volume específico e da massa específica estão em unidade de massa k g , dizemos que eles estão em base mássica. Porém, quando esses valores estão em unidade de mol, dizemos que eles estão em base molar.

    Massa específica molar ρ -

    A fórmula de massa específica molar é:

    ρ - = n V

    onde:

  • ρ - é a massa específica molar da substância que preenche a região estudada. Sua unidade no Sistema Internacional é m o l / m 3 (mol por metro cúbico), mas ele também aparece nos exercícios em k m o l / m 3 (quilomol por metro cúbico).
  • Falamos de duas propriedades em base mássica e duas propriedades em base molar. Não seria ótimo se pudéssemos converter um valor de uma base pra outra facilmente?

    Na verdade, nós podemos! Para fazer isso, basta saber a massa molar da substância!

    v - = v ⋅ M

    ρ - = ρ M

    onde:

  • M é a massa molar da substância. Sua unidade no Sistema Internacional é k g / k m o l (quilograma por quilomol).
  • Podemos usar essas equações de conversão para calcular os valores de volume específico molar e massa específica molar da água no exemplo anterior. Vamos considerar a massa molar da água igual a 18   k g / k m o l .

    v - = 0,001 ⋅ 18 = 0,018   m 3 k m o l

    ρ - = 1000 18 = 55,556   k m o l m 3

    Pressão P

    Se a gente tentar apertar uma tachinha com os dedos, vamos sentir dor somente no dedo que está em contato com o lado pontiagudo da tachinha. Por que só um dedo dói, se pressionamos os dois lados com a mesma força?

    Porque, na ponta menor, a força se distribui por uma área menor. Ou seja, a força aplicada ao lado mais afiado da tachinha está mais concentrada. Essa é a mesma lógica por trás de conseguirmos queimar papel, usando uma lupa. A quantidade de luz incidindo sobre o papel é igual com ou sem lupa. Mas com a lupa, a luz está concentrada em uma área menor.

    E como podemos medir o grau de concentração de uma força aplicada sobre uma área? Através do cálculo de outra propriedade intensiva: a pressão.

    P = F A

    onde:

  • F é a força perpendicular aplicada sobre a área. Sua unidade no Sistema internacional é N (newton).
  • A é a área sobre a qual força é aplicada. Sua unidade no Sistema internacional é m 2 (metro quadrado).
  • P é a pressão da força perpendicular sobre a área. Sua unidade no Sistema internacional é N / m 2 (newton por metro quadrado), que é igual a P a (pascal). Em muitas questões, ela também aparece em k P a (quilopascal) ou M P a (megapascal). Outra unidade bem comum é o b a r .

1   b a r = 10 5   P a = 100   k P a = 0,1   M P a

Atenção! Na fórmula de pressão, levamos em conta apenas a força perpendicular à área! Por exemplo: qual a pressão dentro de um cilindro, quando pressionamos seu êmbolo de 1   m 2 de área com uma força de 3 ⋅ 10 5   N ?

Como vemos pela imagem, a força externa é equilibrada pela pressão interna do sistema. Mas cuidado para não se apressar nas contas e dividir a força total de 1   N pela área do êmbolo de 1   m 2 ! Se fizéssemos isso, estaríamos nos esquecendo, que o F da equação é só a parte perpendicular da força em relação à área.

F = F t o t a l ⋅ sen ⁡ 30 ° = 3 ⋅ 10 5 ⋅ 0,5 = 1,5 ⋅ 10 5   N

Por fim, usamos o valor dessa parcela perpendicular na fórmula de pressão.

P = F A = 1,5 ⋅ 10 5 1 = 1,5 ⋅ 10 5 N m 2 = 1,5 ⋅ 10 5   P a = 1,5   b a r

Pressão atmosférica P a t m

Logo no início da teoria, vimos que o volume específico do ar em grandes altitudes era maior do que seu volume específico em altitudes menores. Por que seu tamanho varia, se nos dois casos estamos medindo o volume específico da mesma substância (o ar)?

O ar tem um volume específico menor em lugares mais pertos do nível do mar, porque, nesses ambientes, ele está comprimido por uma coluna atmosférica maior. Ou seja, a própria atmosfera faz uma pressão sobre as moléculas de ar. Quanto menor a altitude do local, maior a coluna de atmosfera e maior a pressão atmosférica. A pressão atmosférica ao nível do mar vale:

P a t m = 101325   P a

onde P a t m é a pressão exercida pela atmosfera em objetos ao nível do mar.

Esse valor de pressão atmosférica também vale como unidade de medida.

1   a t m =   101325   P a

Pressão absoluta P a b s e pressão manométrica P m a n

Agora eu vou te dar uma dica que pode te salvar na hora da prova! É muito comum o enunciado do problema NÃO te dar diretamente o valor de uma pressão. As vezes ele fornece apenas a pressão de um sistema diminuída do valor de pressão atmosférica P - P a t m . Chamamos essa diferença entre essas duas pressões de pressão manométrica.

P m a n = P - P a t m

onde P m a n é a pressão manométrica do sistema. É importante ressaltar que essa diferença é apenas uma forma de mostrar o valor pressão. Ela NÃO é a pressão total exercida sobre o objeto.

Então qual seria o valor de pressão manométrica dentro daquele cilindro do último exemplo?

P m a n = 1,5 ⋅ 10 5 - 1,01325 ⋅ 10 5 = 4,8675 ⋅ 10 4   P a

Ou seja, para converter um valor de pressão manométrica do enunciado na pressão total, usamos a seguinte fórmula:

P = P m a n + P a t m

Essa pressão total também é chamada de pressão absoluta do sistema. Ela é a pressão exercida sobre o objeto. Para exercitar esse conceito, quais são as pressões manométrica e absoluta, sobre um corpo que está ao nível do mar?

P m a n = P - P a t m = P a t m - P a t m = 0   P a

P a b s = P = P a t m = 1,01325 ⋅ 10 5   P a

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Exercício Resolvido #1

Elaboração própria

Calcule (a) a massa específica da água, ocupando 1   m 3 de um tanque, sabendo que a massa da água totaliza 1000   k g e (b) a massa específica molar molar da água, considerando que a sua massa molar mede 18   k g / k m o l .

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Passo 1

O enunciado pede para calcularmos o ρ e o ρ - da água contida em um tanque. As fórmulas para calcularmos essas massas específicas são:

ρ = m V

onde ρ é a massa específica da água, V é o volume ocupado por ela e m é sua massa total.

ρ - = n V

onde ρ - é a massa específica molar da água e n é o número total de mols de água.

Por isso, para conhecermos esses valores, precisamos conhecer os valores de V , m e   n .

Passo 2

O problema fala que o volume ocupado pela água é de 1   m 3 . Ou seja:

V = 1   m 3

Depois, a questão diz que a massa da água mede 1000   k g . Ou seja:

m = 1000   k g

Como já temos as duas variáveis necessárias para o cálculo da massa específica ρ , podemos substituir seus valores direto na fórmula.

ρ = m V = 1000 1 = 1000   k g m 3

Passo 3

O cálculo da massa específica molar pode ser divido em duas etapas:

  1. Cálculo do número de mols da água n .
  2. Substituição dos valores de n e V na fórmula de ρ - .

Calculamos o número de mols da água, dividindo sua massa por sua massa molar.

n = m M

onde M é a massa molar da substância. No caso a substância é a água. Por isso, a massa molar M , no nosso caso, é a massa molar da água. O enunciado pediu para considerarmos esse valor igual a 18   k g / k m o l .

M = 18 k g k m o l  

Substituindo essa informação na equação de n , temos:

n = m M = 1000 18 ≅ 55,56   k m o l

Sabendo esse valor, podemos encontrar a massa específica molar por sua fórmula.

ρ - = n V = 55,56 1 = 55,56   k m o l m 3

Resposta

  1. A massa específica da água vale 1000   k g / m 3 ρ = 1000   k g / m 3 .
  2. A massa específica molar da água vale 55,56   k m o l / m 3 ρ - = 1000   k m o l / m 3 .

Exercício Resolvido #2

Elaboração própria

A pressão em um tanque de armazenamento de ar comprimido vale 1200   k P a . Qual é a pressão do tanque em (a) k N / m 2 ; (b) b a r ; e (c) a t m ?

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Passo 1

O enunciado nos dá um valor de pressão em quilopascal k P a e nos pede, para converter esse valor para quilonewton por metro quadrado k N / m 2 e depois para b a r e a t m .

Podemos fazer essas conversões através de regras de três, sabendo que:

1   k P a = 1   k N m 2

1   b a r = 100   k P a

1   a t m = 101,325   k P a

Passo 2

Como a unidade de quilopascal é igual a unidade quilonewton por metro ao quadrado 1   k P a = 1 k N / m 2 , o valor da pressão em k P a é igual ao valor da pressão em k N / m 2 .

1 200   k P a = 1 200   k N m 2

Passo 3

Sabendo que 100   k P a vale 1   b a r , quantos b a r valem 1200   k P a ?

1   b a r → 100   k P a x   b a r → 1200   k P a

Assim, chegamos ao seguinte resultado:

x = 1200 100 = 12

Ou seja, 1200   k P a é igual a 12   b a r .

Passo 4

Sabendo que 101,325   k P a vale 1   a t m , quantos a t m valem 1200   k P a ?

1   a t m → 101,325   k P a x   a t m → 1200   k P a

Assim, chegamos ao seguinte resultado:

x = 1200 101,325 ≅ 11,84

Ou seja, 1200   k P a é igual a 11,84   a t m .

Resposta

  1. A pressão vale 1200   k N / m 2 .
  2. A pressão vale 1 2   b a r .
  3. A pressão vale 1 1,84   a t m .

Exercício Resolvido #3

Claus J. Borgnakke, Gordon J. Van Wylen, Richard E. Sonntag, Fundamentos da Termodinâmica, 6ª ed. São Paulo: Edgard Blücher, 2003, pp. 32-2.38

Um recipiente fechado e com volume de 5   m 3 contém 900   k g de granito e ar (massas específicas respectivamente iguais a 2400 e 1,15   k g / m 3 ). Determine a massa de ar contida no recipiente e o volume específico médio do arranjo.

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Passo 1

O enunciado pede primeiro que a gente determine a massa de ar do recipiente. Podemos fazer isso, rearranjando a fórmula de massa específica para o ar.

ρ a r = m a r V a r

m a r = ρ a r ⋅ V a r

O problema diz o valor de massa específica do ar.

ρ a r = 1,15 k g m 3

Mas resta saber o valor do volume que o ar ocupa dentro do recipiente V a r . Como o volume total é igual a à soma dos volumes ocupados pelo ar e pelo ar, temos que:

V a r = V t o t a l - V g r a n i t o

A questão fala pra gente apenas o valor de volume total do recipiente.

V t o t a l = 5   m 3

Para saber o volume ocupado pelo granito e descobrir o volume do ar, reorganizamos a fórmula de massa específica do granito.

V g r a n i t o = m g r a n i t o ρ g r a n i t o

A massa de granito e sua massa específica foram todas informadas pelo enunciado.

m g r a n i t o = 900   k g

ρ g r a n i t o = 2400 k g m 3

Assim descobrimos o volume de granito. Com esse valor calculamos o valor de volume de ar por fim calculamos a massa de ar.

Passo 2

A segunda etapa do problema é calcular o volume específico médio do conteúdo do recipiente (ar e granito). Fazemos isso através de sua fórmula.

v m = V t o t a l m t o t a l

onde v m é o volume específico médio e m t o t a l é a massa de granito mais a massa de ar.

m t o t a l = m a r + m g r a n i t o

A massa de ar é calculada no primeiro passo da solução do exercício. O valor de massa do granito é dado pelo problema.

Como o valor do volume total do recipiente também é informado no enunciado, a última etapa é substituir os valores na fórmula de volume específico.

Então vamos substituir os valores dados para descobrir o volume de granito.

Passo 3

Vimos que a primeira etapa para descobrir a massa de ar é saber o volume de granito.

V g r a n i t o = m g r a n i t o ρ g r a n i t o = 900 2400 = 0,375   m 3

O próxima fase é calcular o volume de ar.

V a r = V t o t a l - V g r a n i t o = 5 - 0,375 = 4,625   m 3

Por fim:

m a r = ρ a r ⋅ V a r = 1,15 ⋅ 4,625 = 5 , 31875   k g

Passo 4

Para chegar ao valor de volume específico médio precisamos primeiro do valor de massa total.

m t o t a l = m a r + m g r a n i t o = 900 + 5 , 31875 = 90 5 , 31875   k g

Agora estamos prontos para encontar o volume específico médio.

v m = V t o t a l m t o t a l = 5 905 , 31875 = 0.00552291665 ≅ 0,0055   m 3 k g

Resposta

m a r = 5 , 31875   k g

v m ≅ 0,0055   m 3 k g

Exercício Resolvido #4

Claus J. Borgnakke, Gordon J. Van Wylen, Richard E. Sonntag, Fundamentos da Termodinâmica, 6ª ed. São Paulo: Edgard Blücher, 2003, pp. 32-2.44

A pressão máxima no fluido utilizado num macaco hidráulico é 0,5   M P a . Sabendo que o macaco deve levantar um corpo com massa de 850 kg, determine o diâmetro do conjunto cilindro-pistão que movimenta o corpo.

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Passo 1

O problema pede o diâmetro do êmbolo necessário para levantar um corpo pesado sem ultrapassar a pressão máxima que o fluido, presente dentro do conjunto cilindro-pistão, suporta.

Ou seja, precisamos descobrir uma área que faça a pressão do fluido vencer a força que o peso do corpo impõe ao pistão.

Para calcular a área precisamos calcular a força provocada pela pressão do fluido. Para calcular essa força, precisamos aplicar a segunda lei de Newon sobre o pistão.

F R = m ⋅ a

onde F R é a força resultante sobre o pistão, m é a massa do pistão e a é a aceleração do êmbolo pra cima.

Como faremos esse cálculo se não temos nenhuma dessas informações? Não sabemos a força resultante, porque não conhecemos o peso do próprio pistão. Não sabemos sua massa, nem sua aceleração.

Resolvemos esse impasse através de uma informação escondida no enunciado: a massa do pistão é desprezível!

m ≈ 0   k g

Isso pode ser deduzido, porque sem essa simplificação, não seríamos capazes de resolver a questão e, além disso, o peso do que queremos levantar deve ser sempre muito maior do que o peso da ferramenta que usamos para levantar. Caso contrário estaríamos sendo ineficientes.

Passo 2

Com essa informação adicional aplicamos a segunda lei de Newton no êmbolo:

F R = 0

F R = F - F C

F - F C = 0

F = F C

Onde F é a força que a pressão do fluido exerce sobre o pistão e F C é a força de contato entre o corpo erguido e o êmbolo.

A força F é encontrada, rearranjando a fórmula de pressão do fluido.

P f l u i d o = F A

F = P f l u i d o ⋅ A

onde P f l u i d o é a pressão do fluido e A é a área do pistão.

Sua pressão é dada como a máxima pressão que o fluido suporta.

P f l u i d o = 0,5   M P a = 50 0 000   P a

Como o problema pede o diâmetro do pistão, deduzimos que ele é circular. Por isso:

A = π D 2 4

onde D é o diâmetro do pistão.

Falta apenas encontrar a F C para começarmos a substituir todos os valores dados no problema. Fazemos isso aplicando a segunda lei de Newton ao corpo que erguemos.

F R C = F C - m C ⋅ g = m C ⋅ a C

onde F R C é a força resultante sobre o corpo, m C é a massa do corpo, g é a gravidade da Terra, m C é a massa do corpo e a C é a aceleração do corpo.

A massa do corpo é dada:

m C = 850   k g

Também sabemos a gravidade da Terra

g = 10   m / s 2

Só resta a aceleração do corpo para acharmos F C . Felizmente, seu valor é outra informação escondida no enunciado! Como nós aproximamos os processos termodinâmicos como processos de quase-equilíbrio, consideramos que o corpo está próximo ao equilíbrio. Portanto:

a C ≈ 0   m / s 2