Enunciado

Um arranjo pistão-cilindro inicialmente contém 0,07 m³ de gás nitrogênio a 130 kPa e 180 °C. O nitrogênio então se expande, de maneira politrópica, até uma pressão de 80 kPa com um expoente politrópico cujo valor é igual à razão entre os calores específicos (a chamada expansão isentrópica). Determine a temperatura final e o trabalho de fronteira realizado durante esse processo.

Passo 1

Queremos determinar a temperatura do estado final ( T 2 ) e o trabalho de fronteira ( W f )   de um processo de expansão politrópica de nitrogênio. Para isso, devemos considerar o nitrogênio como um gás ideal.

Antes de começar a resolver o problema devemos encontrar o valor da constante do gás (R) do nitrogênio na Tabela A-2a (página 909). Ao consultar a tabela, podemos observar que o valor de para o nitrogênio R = 0,2968 kJ/kgK.

O enunciado também deixa claro que esse problema se trata de um caso especial de uma expansão politrópica, que é a expansão adiabática reversível (isentrópica), que pode ser equacionada como:

P V k = C

Onde k é o coeficiente de expansão adiabático que pode ser encontrado na Tabela A-2b (página 910).

A temperatura inicial do processo é de 180 °C (453 K) e, portanto, podemos utilizar o valor do coeficiente para nitrogênio a 450 K encontrado na Tabela A-2b, que é de 1,395.

Organizando os dados para esse problema, temos:

V = 0,07   m ³ P   1 =   130   k P a T   1 =   180   ° C = 453   K P   2 =   8 0   k P a R =   0,2968   k J / k g K k =   1,395

Passo 2

Primeiro, devemos calcular a massa de nitrogênio a partir da temperatura, pressão e volume no primeiro estado, respectivamente 393 K, 130 kPa e 0,07 m³.

m   =  P 1 V 1 R T 1 = (130 kPa)(0,07 m³) (0,2968  kJ / kgK )( 453  K) = 0,0 6 7 6 8 kg

Passo 3

Depois, calcula-se o volume no estado 2 a partir definição de um processo adiabático reversível de um gás ideal:

P 1 V 1 k  =  P 2 V 2 k

Substituindo pelas pressões e volume no estado 1 e pelo coeficiente de expansão adiabática, temos:

P 1 V 1 k   =  P 2 V 2 k   → (130 kPa) (0,07 m³) 1,395  =   ( 8 0 kPa  )   V 2 1,395    

Reorganizando a equação e explicitando o valor de V 2 :

V 2 1,395   =   130   k P a 0,07   m 3 1,395   ( 80 kPa  )   →   V 2   =   130   k P a 0,07   m 3 1,395   ( 80 kPa  )   1 1,395

V 2   = 0,09914   m ³

Passo 4

Depois dos passos anteriores, finalmente podemos calcular a temperatura no estado 2 a partir da equação dos gases ideais:

T 2 = P 2 V 2 m R   =   ( 80   k P a ) ( 0,09914   m ³ ) ( 0,06768   k g ) ( 0,2968   k J / k g K )   =   394,83   K

Passo 5

Devemos calcular também o trabalho de fronteira. A equação para calcular o trabalho de um processo politrópico é dada por:

W f = P 2 V 2 - P 1 V 1 1 - k

Dessa forma, substituindo as variáveis, temos:

W f = P 2 V 2 - P 1 V 1 1 - k   =   ( 80   k P a   ) ( 0,09914   m ³ ) - ( 130   k P a ) ( 0,07   m ³ ) 1 - 1,395 = 2,96   k J

O sinal positivo indica que trabalho foi realizado pelo sistema.  

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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