Enunciado

Considere um cilindro rígido, horizontal e bem isolado, dividido em dois compartimentos por um pistão com liberdade de movimento – mas que não permite vazamento de gás para o outro lado. Inicialmente, um lado do pistão contém 2 m³ de N 2 a 250 kPa e 100 °C, enquanto o outro lado contém 1 m³ de gás He a 250 kPa e 25 °C. O equilíbrio térmico é então estabelecido no cilindro como consequência da transferência de calor pelo pistão. Usando calores específicos constantes à temperatura ambiente, determine (a) a temperatura final de equilíbrio no cilindro e (b) a geração de entropia durante esse processo. O que você responderia se o pistão não tivesse liberdade de movimento?

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem?

Bem, inicialmente assumiremos que:

1. N 2 e He são gases ideais com aquecimentos específicos constantes.

2. A energia armazenada no próprio recipiente é insignificante.

3. O cilindro é bem isolado e, portanto, a transferência de calor é insignificante

Obs: Das tabelas A-1 e A-2 do livro, podemos encontrar os valores das propriedades dos gases, tais como:

    N 2 →               R = 0,2968 k P a * m 3 k g K           c v = 0,743 K J k g 0 C               c p = 1,039 K J k g 0 C

    H e →               R = 2,0769 k P a * m 3 k g K           c v = 3,1156 K J k g 0 C               c p = 5,1926 K J k g 0 C

Passo 2

Letra a) Bem, podemos primeiramente calcular a massa de cada cilindro. Como são gases ideais, vamos utilizar a seguinte relação:

m N 2 = P 1 V 1 R T 1 N 2 = 250 * 2 0,2968 * 273       →   m N 2 = 4,516   k g  

E

m H e = P 2 V 2 R T 2 H e = 250 * 1 2,0769 * 2 98       →   m H e = 0,4039   k g  

Obs: É interessante deixar sempre a temperatura em Kelvin, para evitar erros bobos.

Assim, tomando todo o conteúdo do cilindro, a relação do balanço de energia pode ser escrita como:

E e n t - E s a i = Δ E s i s t e m a

Então:

0 = Δ U N 2 + Δ U H e     →     m c v T 2 - T 1 H e = - m c v T 2 - T 1 N 2  

Substituindo os valores, temos que:

0,4039 * 3,1156   T f - 25 H e = - 4,516 * 0,743 T f - 100 N 2

Reorganizando e calculando, encontramos:

T f = 79 , 5 0 C   o u   352,5   K

Onde T f é a temperatura final de equilíbrio.

Obs: A resposta seria a mesma se o pistão não estivesse livre para se mover, pois afetaria apenas a pressão, e não os calores específicos.

Passo 3

Letra b) Tomamos o cilindro inteiro como nosso sistema, que é um sistema fechado. Observando que o cilindro é bem isolado e, portanto, não há transferência de calor, o balanço de entropia para este sistema fechado pode ser expresso como:

S e n t - S s a i + S g e r = Δ S s i s t e m a       →   S g e r = Δ S N 2 + Δ S H e

Devemos lembrar que Δ S pode ser escrito:

Δ S = m c p ln ⁡ T 2 T 1 - R l n P 2 P 1

Porém, devemos determinar a pressão final do cilindro P 2 :

P 2 = N t o t a l R u T V t o t a l

Para isso, o número de mols total é:

N t o t a l = m M N 2 + m M H e = 4,516 28 k g k g / k m o l + 0,4039 4 k g k g / k m o l =   0,2623   k m o l

Assim:

P 2 = 0,2623   k m o l * 8,314   k p a * m 3 k m o l K * 352,5   K 3 m ³ = 256,3   k P a

Portanto:

Δ S N 2 = 4,516 1,039 * ln ⁡ 352,3 373 - 0,2968 * l n 256,3 250 = - 0,2978 K J K

E

Δ S H e = 0,4039 5,1926 * ln ⁡ 352,3 298 - 2,0769 * l n 256,3 250 = 0,3318 K J K

Concluímos então que:

S g e r = Δ S N 2 + Δ S H e = - 0,2978 + 0,3318       → S g e r = 0,034 K J K

Passo 4

Se o pistão não tivesse liberdade de movimento, a temperatura T 2 permaneceria a mesma, mas o volume em cada caso seria constante, resultando em:

Δ S = m c v ln ⁡ T 2 T 1

Assim: Δ S N 2 = 4,516 0,743 * ln ⁡ 352,3 373 = - 0 , 1893 K J K

E

Δ S H e = 0,4039 3,1156 * ln ⁡ 352,3 298 = 0 , 2115 K J K

E, portanto, a geração de entropia durante esse processo seria:

S g e r * = 0,0223 K J K

Resposta

Portanto:

Letra a)   T f = 79 , 5 0 C   o u   352,5   K

Letra b) S g e r = 0,034 K J K

E   S g e r * = 0,0223 K J K

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