Enunciado

Uma pistola a ar comprimido opera conforme mostrado na Fig. P5.86. Considere que o volume de ar comprimido no pequeno cilindro é 1   c m 3 , a pressão é de 1   M P a e a temperatura é de 27   ° C , quando a pistola está armada. Uma bala com m = 15   g , age como um pistão inicialmente preso por um pino (gatilho); quando solto, o ar expande-se em um processo isotérmico ( T = c o n s t a n t e ) . Se a pressão do ar no cilindro é 0,1   M P a quando a bala sai da arma, determine:

a. o volume final e a massa final de ar;

b. o trabalho feito pelo ar e o trabalho realizado sobre a atmosfera;

c. o trabalho sobre a bala e sua velocidade de saída.

Passo 1

Fala, galera! Nessa questão nós temos um processo de expansão, onde as condições iniciais são:

V 1 = 1   c m 3 ∙ 10 - 6 = 1 ∙ 10 - 6 m 3

T 1 = 27   ° C + 273,15 = 300 , 15   K

P 1 = 1   M P a = 1000   k P a

O enunciado fala que o ar se expande num processo isotérmico, isso quer dizer que nós temos um processo politrópico com n = 1 . Essa é uma informação importante, porque nos diz que para calcular o trabalho, temos que usar a fórmula:

W = P 1 V 1 ln ⁡ V 2 V 1

Além disso, ele nos diz que no estado 2, temos:

P 2 = 0,1   M P a = 100   k P a

T 2 = T 1 = 300,15   K

Vamos determinar os itens no enunciado.

Passo 2

a) Galera, para a letra a, temos que determinar o volume final e a massa contida na pistola. Para o cálculo da massa, vamos assumir que o gás é um gás ideal e usar a equação:

P V = m R T

Olhando na Tabela A.5, temos R = 0,287   k J / k g K . Utilizando esse valor e o valor das variáveis de estado inicial, temos:

P 1 V 1 = m R T 1

m = P 1 V 1 R T 1

m = 1000 ∙ 1 ∙ 10 - 6 0,287 ∙ 300,15

m = 1,16 ∙ 10 - 5   k g

Passo 3

Para calcular o volume final, vamos usar a relação:

P 1 V 1 = P 2 V 2

Isolando V 2 ,

V 2 = P 1 V 1 P 2

Substituindo os valores:

V 2 = 1000 ∙ 1 ∙ 10 - 6 100 = 1 ∙ 10 - 5   m 3 = 10   c m 3

Letra a finalizada, bora pra próxima.

Passo 4

b) No item b temos que determinar o trabalho realizado pelo ar e o trabalho realizado pela atmosfera. O trabalho para o ar é determinado pela fórmula do passo 1:

W a r = P 1 V 1 ln ⁡ V 2 V 1

Substituindo os valores:

W a r = 100 ∙ 10 - 6 ∙ ln ⁡ 10 - 5 10 - 6

W a r = 2,3025   J

Passo 5

b) Para o cálculo do trabalho realizado pela atmosfera, temos uma pressão constante P 0 . Assim, o trabalho pode ser calculado pela fórmula:

W = ∫ P d V = P 0 ∆ V = P 0 ( V 2 - V 1 )

Nós sabemos que P 0 = 1   a t m = 101,325   k P a . Substituindo os valores:

W a t m = P 0 V 2 - V 1

W a t m = 101,325 ∙ 10 - 1 ∙ 10 - 6

W a t m = 9,11925 ∙ 10 - 4 k J = 0,911925   J

Passo 6

c) Na letra c temos que determinar o trabalho sobre a bala e sua velocidade de saída.

Galera, o trabalho realizado sobre a bala é o trabalho feito pelo ar, que acrescenta energia cinética na bala, menos o trabalho da atmosfera, que retira energia cinética. Assim, temos:

W b a l a = W a r - W a t m

W b a l a = 2,3025 - 0,911925

W b a l a = 1,39055   J

Passo 7

Para calcular a velocidade de saída da bala, vamos considerar sua energia cinética, que é definida por:

U = m v 2 2

A energia que faz a bala se mover é o trabalho dela. Então temos:

U = m v 2 2 = W b a l a

Isolando a velocidade, temos

v = W b a l a ∙ 2 m

Convertendo a massa de gramas para quilogramas, m = 15 g ∙ 10 - 3 = 15 ∙ 10 - 3 k g . Substituindo os valores:

v = 1,39055 ∙ 2 15 ∙ 10 - 3

v = 13,62   m / s

É isso, galera, encerramos o exercício 😉.

Resposta

a. m = 1,16 ∙ 10 - 5   k g

V 2 = 10   c m 3

b. W a r = 2,3025   J

W a t m = 0,911925   J

c. W b a l a = 1,39055   J

v = 13,62   m / s

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