Enunciado

A variação da pressão com a densidade em uma camada espessa de gás é dada por P = C ρ n , onde C e n são constantes. Observando que a variação de pressão por uma camada diferencial de fluido de espessura d z na direção vertical z   é dada por d P = - ρ g   d z , obtenha a relação para pressão em função da altura z . Considere a pressão e a densidade em z = 0 como P 0 e ρ 0 respectivamente.

Passo 1

Temos que a expressão P = C ρ n pode ser expressa como,

C = P ρ n = P 0 ρ 0 n

Rearranjando a equação, teremos

ρ = ρ 0 P P 0 n = ρ 0 P P 0 1 n

Passo 2

Vamos substituir a expressão encontrada no passo 1 em d P = ρ g   d z , daí

d P = ρ 0 P P 0 1 n g   d z

Utilizando o método de separações de variáveis nessa equação diferencial, com z variando de 0 a z , e P variando de P 0 a P, temos

∫ P 0 P P P 0 1 n d P = ∫ 0 z ρ 0 g   d z

Resolvendo as integrais, vamos ter

P 0 n n - 1 P P 0 n - 1 n - 1 = ρ 0 g z

Passo 3

Rearranjando a equação, teremos

P P 0 n - 1 n - 1 = n - 1 ρ 0 g z P 0 n

P = P 0 1 - n - 1 ρ g z P 0 n n n - 1

Resposta

A relação para pressão em função da altura z é dada por

P = P 0 1 - n - 1 ρ g z P 0 n n n - 1

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