Conservação de Energia do Volume de Controle

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Teoria

A conservação de energia é parecida com a conservação de massa

Na teoria anterior, nós calculamos a variação da massa de uma piscina furada, quando enchemos ela com água.

Através desse exemplo, a gente viu que a taxa de variação de massa da piscina d m V . C . d t , é igual à massa de água que entra m ˙ e menos a massa de água que sai pelo furo m ˙ s .

d m V . C . d t = m ˙ e - m s ˙

Essa fórmula é chamada de conservação de massa para um volume de controle, porque mostra que a massa não é criada ou destruída durante um processo. Ela só muda de lugar!

Nós sabemos que a energia é parecida com a massa, porque ela também se conserva. Ou seja, ela não pode ser criada nem destruída. Então será que a equação de conservação de energia também é parecida com a equação de conservação de massa para volumes de controle? Sim! A taxa de variação da energia é igual à energia que entra menos a energia que sai!

d E d t = E ˙ e - E ˙ s

onde:

  • d E d t é a taxa de variação de energia do volume de controle (V.C.). Sua unidade no Sistema Internacional (S.I.) é o watt W ou o joule por segundo J / s . Essas duas unidades são equivalentes:

1 J / s = 1   W

  • E ˙ e é a taxa de energia que entra no volume de controle. Sua unidade no S.I. é o watt W ou o joule por segundo J / s ;
  • E ˙ s é a taxa de energia que sai no volume de controle. Sua unidade no S.I. é o watt W ou o joule por segundo J / s .

Por que a primeira lei para volume de controle é diferente?

Essa fórmula de conservação da energia serve tanto para o volume de controle quanto para o sistema fechado. Nos dois casos, a taxa de variação da energia d E d t é igual à energia que entra E ˙ e menos a energia que sai E ˙ s ! Se essa equação vale pros dois, por que aquela fórmula antiga de primeira lei pro sistema fechado não vale também pro volume de controle?

Porque a equação que calcula E ˙ e - E ˙ s para o sistema fechado é diferente da equação que calcula E ˙ e - E ˙ s para o volume de controle. Ou seja, essa é a única diferença entre os dois! Logo, para entender a equação de conservação de energia do volume de controle, precisamos entender primeiro a equação de conservação de energia para sistemas fechados.

A figura acima relembra como era a fórmula de conservação de energia que estudamos para sistemas fechados. Essa equação nos mostra que a energia do sistema aumenta ou diminui por causa da energia trocada através do calor Q e do trabalho W ! No entanto, vemos que a variação de energia E 2 - E 1 não está na forma de taxa de variação d E d t !

Isso quer dizer que a fórmula que temos não é igual a fórmula de taxas de energia que queremos. Então a gente precisa converter essa equação antiga para uma nova forma com taxas. Dessa maneira, a gente vai conseguir entender como o termo E ˙ e - E ˙ s é calculado para sistemas fechados. E como fazemos essa conversão? É isso que veremos agora!

Primeira lei para sistemas fechados na forma de taxa de variação

A fórmula antiga de primeira lei mostra a conservação de energia de um sistema fechado durante um processo que vai do estado 1 até o estado 2. Por exemplo, se fervermos uma panela tampada de água líquida, a água vai da fase líquida (estado 1) para vapor (estado2). Esse processo até ela ferver totalmente, esse processo vai durar um tempo Δ t .

Nós queremos chegar em uma equação de taxa de variação de energia em relação ao tempo, mas essa equação antiga não diz nada sobre como o processo ocorre durante o intervalo de tempo Δ t . Ela só se preocupa com os estados de antes (estado 1) e depois (estado 2) do processo. Então como podemos colocar o tempo nessa equação?

O primeiro passo para transformar a fórmula antiga é dividir todos os termos dessa equação pelo intervalo de tempo de duração processo Δ t .

E 2 - E 1 Δ t = Q Δ t - W Δ t ⟹ Δ E Δ t = Q Δ t - W Δ t

O passo final é fazer o intervalo de tempo Δ t ficar cada vez menor. No limite, quando Δ t tende a zero, essas divisões viram derivadas! Ou seja, elas viram as taxas de variação em relação ao tempo!

lim Δ t ⟶ 0 ⁡ Δ E Δ t = d E d t

lim Δ t ⟶ 0 ⁡ Q Δ t = Q ˙

lim Δ t ⟶ 0 ⁡ W Δ t = W ˙

d E d t = Q ˙ - W ˙

Comparando essa fórmula com a outra equação de taxas, descobrimos que para o sistema fechado:

d E d t = E ˙ e - E ˙ s d E d t = Q ˙ - W ˙         ⟹ E ˙ e - E ˙ s = Q ˙ - W ˙

Entendendo a nova equação de primeira lei para sistemas fechados

Para o sistema fechado, E ˙ e - E ˙ s é igual a taxa de energia que entra por calor Q ˙ menos a taxa de energia que sai por trabalho realizado W ˙ . Essa fórmula só tem dois termos ( Q ˙ e W ˙ ), porque o sistema só troca energia de dois jeitos.

Já o volume de controle tem três formas de trocar energia com sua vizinhança: por calor, por trabalho ou por troca de massa. A troca de massa com o ambiente faz o volume de controle ganhar mais um jeito de transferir energia! Essa é a diferença real entre o sistema fechado e o volume de controle! Mostraremos o efeito dessa nova forma na primeira lei agora!

A primeira lei para o volume de controle tem termos a mais ( E ˙ e , m a s s a e E ˙ s , m a s s a )!

Acabamos de descobrir que a primeira lei para o volumes de controle é como se fosse uma versão mais complicada da primeira lei para sistema fechado! Por causa disso, podemos dividir os termos da equação do volume de controle em duas partes. A primeira parte é uma cópia da primeira lei para sistemas fechados e a nova parte é a troca de energia por massa!

onde:

  • E ˙ e , m a s s a é a taxa de energia que entra no volume de controle através da entrada de massa. Sua unidade no Sistema Internacional de Unidades (S.I.) é o watt W ou o joule por segundo J / s ;
  • E ˙ s , m a s s a é a taxa de energia que sai do volume de controle através da saída de massa. Sua unidade no Sistema Internacional de Unidades (S.I.) é o watt W ou o joule por segundo J / s .

Comparando essa fórmula com a outra equação de taxas, descobrimos que para o volume de controle:

d E d t = E ˙ e - E ˙ s d E d t = Q ˙ - W ˙ + E ˙ e , m a s s a - E ˙ s , m a s s a       ⟹ E ˙ e - E ˙ s = Q ˙ - W ˙ + E ˙ e , m a s s a - E ˙ s , m a s s a

Agora que sabemos disso, vamos treinar tudo o que aprendemos com exercícios!

Por que a primeira lei para volume de controle é diferente?

Primeira lei para sistemas fechados na forma de taxa de variação

Entendendo a nova equação de primeira lei para sistemas fechados

A primeira lei para o volume de controle tem termos a mais ( E ˙ e , m a s s a e E ˙ s , m a s s a )!

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Um tanque rígido fechado, contendo um vapor, recebe uma taxa constante de calor de 100   W . Determine a taxa de variação da energia do vapor durante esse processo de aquecimento.

Passo 1

O exercício pede para a gente determinar a taxa de variação da energia d E d t de um vapor que está dentro de um tanque rígido fechado. O primeiro passo para resolver essa questão é entender todas as informações do problema que o enunciado dá pra gente. Por isso, a figura abaixo mostra todos os dados que temos para calcular d E d t do vapor.

O Q ˙ da figura é a taxa de calor que o vapor recebe. W ˙ é a taxa de trabalho (também podemos chamar de potência) que o vapor realiza sobre o ambiente. Como o exercício diz que o tanque é rígido, isso significa que o vapor sempre ocupa o mesmo volume. Ou seja, seu volume não varia e ele não realiza nenhum trabalho de movimento de fronteira. Por isso:

W ˙ = 0   W

Com isso, descobrimos todos os dados que a questão nos informa. Agora, vamos determinar qual equação nós usamos para calcular d E d t .

Passo 2

Como o tanque rígido está fechado, não entra massa nele nem sai massa dele. Ou seja, o tanque forma um sistema fechado. Então para calcular a taxa de variação da energia d E d t do vapor, temos que usar a primeira lei para sistemas fechados.

d E d t = Q ˙ - W ˙

Olhando para a fórmula acima, nós vemos que temos informações sobre todas as variáveis que precisamos ( Q ˙ e W ˙ ) para calcular d E d t . Então vamos começar a fazer as contas!

Passo 3

d E d t = Q ˙ - W ˙       ⟹       d E d t = 100 - 0       ⟹       d E d t = 100   W

Resposta

d E d t = 100   W

Exercício Resolvido #2

Um conjunto cilindro-pistão fechado, contendo um vapor, perde calor a uma taxa constante de 200   W . Sabendo que a energia do vapor não varia durante esse processo, determine a potência realizada pelo vapor sobre o ambiente.

Passo 1

O exercício pede para a gente determinar a taxa de trabalho que o vapor realiza sobre o ambiente W ˙ que também pode ser chamada de potência. O primeiro passo para resolver essa questão é entender todas as informações do problema que o enunciado dá pra gente. Por isso, a figura abaixo mostra todos os dados que temos para calcular W ˙ .

O Q ˙ da figura é a taxa de calor que sai do vapor. Como o vapor perde calor, essa taxa Q ˙ é negativa!

Q ˙ < 0       ⟹       Q ˙ = - 200   W

Quando o vapor perde calor, seu volume diminui. Isso significa que o vapor comprime e recebe uma taxa trabalho de movimento de fronteira W ˙ .

d E d t é a taxa de variação da energia do vapor. Como o exercício diz que a energia do vapor não varia durante a perda de calor, a taxa de variação da energia d E d t é nula!

d E d t = 0   W

Com isso, descobrimos todos os dados que a questão nos informa. Agora, vamos determinar qual equação nós usamos para calcular W ˙ .

Passo 2

Como o conjunto cilindro-pistão está fechado, não entra massa nele nem sai massa dele. Ou seja, o conjunto cilindro-pistão forma um sistema fechado. Então para calcular a potência W ˙ do vapor, temos que usar a primeira lei para sistemas fechados.

d E d t = Q ˙ - W ˙     ⟹       W ˙ = Q ˙ - d E d t

Olhando para a fórmula acima, nós vemos que temos informações sobre todas as variáveis que precisamos ( Q ˙ e d E d t ) para calcular W ˙ . Então vamos começar a fazer as contas!

Passo 3

W ˙ = Q ˙ - d E d t       ⟹       W ˙ = - 200 - 0       ⟹       W ˙ = - 200   W

Atenção! O valor negativo da potência significa que o vapor sofre trabalho!

Resposta

W ˙ = - 200   W

Exercício Resolvido #3

Um conjunto cilindro-pistão fechado, contendo um vapor, perde calor a uma taxa constante de 350   W . Sabendo que a energia do vapor varia a uma taxa constante de 100   W e que esse processo de resfriamento é isobárico a 1000   P a , determine a taxa de variação do volume do vapor.

Passo 1

O exercício pede para a gente determinar a taxa de variação do volume do vapor d V V . C . d t . O primeiro passo para resolver essa questão é entender todas as informações do problema que o enunciado dá pra gente. Por isso, a figura abaixo mostra todos os dados que temos para calcular d V V . C . d t .

O Q ˙ da figura é a taxa de calor que sai do vapor. Como o vapor perde calor, essa taxa Q ˙ é negativa!

Q ˙ < 0       ⟹       Q ˙ = - 350   W

d E d t é a taxa de variação da energia do vapor. P é a pressão do vapor durante o processo de resfriamento.

Esses são todos os dados que a questão nos informa. Agora, vamos determinar quais equações nós usamos para calcular d V V . C . d t .

Passo 2

Quando o vapor perde calor, seu volume diminui. Isso significa que o vapor comprime e recebe uma taxa trabalho de movimento de fronteira W ˙ . Como esse trabalho é isobárico, a quantidade de energia por trabalho que o vapor recebe W , quando a fronteira se movimenta pode ser calculado pela seguinte fórmula.

W = P ⋅ Δ V

Δ V é a variação de volume do vapor. No entanto, nós não sabemos quando vale W nem queremos calcular Δ V . Então como fazemos para transformar essa fórmula em uma equação que tenha as variáveis que precisamos calcular ( W ˙ e d V V . C . d t )?

O primeiro passo para transformar a fórmula antiga é dividir todos os termos dessa equação pelo intervalo de tempo de duração processo Δ t .

W Δ t = P ⋅ Δ V Δ t

O passo final é fazer o intervalo de tempo Δ t ficar cada vez menor. No limite, quando Δ t tende a zero, essas divisões viram derivadas! Ou seja, elas viram as taxas de variação em relação ao tempo!

lim Δ t ⟶ 0 ⁡ W Δ t = l i m Δ t ⟶ 0 P ⋅ Δ V Δ t       ⟹       lim Δ t ⟶ 0 ⁡ W Δ t = P ⋅ l i m Δ t ⟶ 0 Δ V Δ t       ⟹       W ˙ = P ⋅ d V V . C . d t

Mas como podemos calcular d V V . C . d t com essa fórmula se não sabemos quanto vale W ˙ ? Veremos isso no próximo passo!

Passo 3

Além disso, como o conjunto cilindro-pistão está fechado, não entra massa nele nem sai massa dele. Ou seja, o conjunto cilindro-pistão forma um sistema fechado. Então para calcular a potência W ˙ do vapor, temos que usar a primeira lei para sistemas fechados.

d E d t = Q ˙ - W ˙     ⟹       W ˙ = Q ˙ - d E d t

Substituindo a fórmula de potência movimento de fronteira na equação acima, achamos a fórmula para calcular d V V . C . d t .

W ˙ = Q ˙ - d E d t       ⟹       P ⋅ d V V . C . d t = Q ˙ - d E d t       ⟹       d V V . C . d t = Q ˙ - d E d t P

Olhando para a fórmula acima, nós vemos que temos informações sobre todas as variáveis que precisamos ( Q ˙ , d E d t e P ) para calcular d V V . C . d t . Então vamos começar a fazer as contas!

Passo 4

d V V . C . d t = Q ˙ - d E d t P       ⟹       d V V . C . d t = - 350 - 100 1000       ⟹       d V V . C . d t = - 0,45   m 3 s

Atenção! O valor negativo de d V V . C . d t significa que o vapor comprimiu!

Resposta

d V V . C . d t = - 0,45   m 3 s

Exercício Resolvido #4

Um conjunto cilindro-pistão, contendo um vapor, perde 300   k J de calor a cada segundo. Enquanto o vapor é resfriado, 10   k W de taxa de energia saem do conjunto cilindro-pistão através da massa de vapor que vaza pela folga entre o pistão e o cilindro. Sabendo que o volume do pistão diminui a uma taxa constante de 0,5   m 3 / s e que esse processo de resfriamento é isobárico a 200   k P a , determine a taxa de variação da energia do vapor.

Passo 1

O exercício pede para a gente determinar a taxa de variação da energia do vapor do cilindro-pistão d E d t . O primeiro passo para resolver essa questão é entender todas as informações do problema que o enunciado dá pra gente. Por isso, a figura abaixo mostra todos os dados que temos para calcular d E d t .

O Q ˙ da figura é a taxa de calor que sai do vapor. Como o vapor perde calor, essa taxa Q ˙ é negativa!

Q ˙ < 0       ⟹       Q ˙ = - 300   k J s         ⟹       Q ˙ = - 300   k W

d V V . C . d t é a taxa de variação do volume do vapor. Ela é negativa, porque o volume do vapor diminui.

d V V . C . d t < 0       ⟹       d V V . C . d t = - 0,5   m 3 s

P é a pressão do vapor durante o processo de resfriamento. E s , m a s s a é a taxa de energia que sai do conjunto cilindro-pistão por causa do vazamento de vapor.

Esses são todos os dados que a questão nos informa. Agora, vamos determinar quais equações nós usamos para calcular d E d t .

Passo 2

Quando o vapor perde calor e vaza, seu volume diminui. Isso significa que o vapor comprime e recebe uma taxa trabalho de movimento de fronteira W ˙ . Como esse trabalho é isobárico, a quantidade de energia por trabalho que o vapor recebe W , quando a fronteira se movimenta pode ser calculado pela seguinte fórmula.

W = P ⋅ Δ V

Δ V é a variação de volume do vapor. No entanto, nós não sabemos quando vale W nem Δ V . Então como fazemos para transformar essa fórmula em uma equação que tenha os dados informados pelo enunciado ( d V V . C . d t e P ) e a taxa de trabalho precisamos achar W ˙ ?

O primeiro passo para transformar a fórmula antiga é dividir todos os termos dessa equação pelo intervalo de tempo de duração processo Δ t .

W Δ t = P ⋅ Δ V Δ t

O passo final é fazer o intervalo de tempo Δ t ficar cada vez menor. No limite, quando Δ t tende a zero, essas divisões viram derivadas! Ou seja, elas viram as taxas de variação em relação ao tempo!

lim Δ t ⟶ 0 ⁡ W Δ t = l i m Δ t ⟶ 0 P ⋅ Δ V Δ t       ⟹       lim Δ t ⟶ 0 ⁡ W Δ t = P ⋅ l i m Δ t ⟶ 0 Δ V Δ t       ⟹       W ˙ = P ⋅ d V V . C . d t

No próximo passo poderemos finalmente aprender a calcular d E d t !

Passo 3

Como o conjunto cilindro-pistão está vazando vapor, sai massa dele. Ou seja, o conjunto cilindro-pistão forma um volume de controle, porque ele troca massa com o ambiente ao seu redor. Então para calcular a taxa de variação de energia d E d t do vapor, temos que usar a primeira lei para volumes de controle.

d E d t = Q ˙ - W ˙ + E ˙ e , m a s s a - E ˙ s , m a s s a

E ˙ e , m a s s a é a taxa de energia que entra no volume de controle por conta da entrada de massa no volume de controle. Como não existe vapor entrando no volume de controle, E ˙ e , m a s s a vale:

E ˙ e , m a s s a = 0   k W

Já sabemos como achar todas as variáveis da fórmula da primeira lei. Então vamos começar a fazer as contas!

Passo 4

O prmeiro passo é calcular a taxa de trabalho realizado sobre o vapor de dentro do cilindro-pistão.

W ˙ = P ⋅ d V V . C . d t       ⟹       W ˙ = 200 ⋅ - 0,5       ⟹       W ˙ = - 100   k W

Podemos agora usar a primeira lei da termodinâmica para volume de controle.

d E d t = Q ˙ - W ˙ + E ˙ e , m a s s a - E ˙ s , m a s s a

  d E d t = - 300 - - 100 + 0 - 10

  d E d t = - 210   k W

Resposta

d E d t = - 210   k W

Exercício Resolvido #5

Um tanque rígido está sendo preenchido com nitrogênio N 2 a uma vazão volumétrica constante de 0,3   m 3 / s . O nitrogênio que entra está a 400   K e 300   k P a . Cada quilograma desse nitrogênio aumenta 10   k J de energia do tanque. O processo de enchimento dura 1   m i n e a taxa de variação da energia do nitrogênio presente no tanque permanece constante durante esse intervalo de tempo. Sabendo que o nitrogênio do tanque perde 100   k W de calor durante esse processo, calcule a variação de energia do N 2 dentro do tanque do início ao fim do enchimento. Considere que o nitrogênio se comporta como um gás ideal.

Passo 1

O exercício pede para a gente determinar a variação da energia do N 2 do tanque rígido Δ E . O primeiro passo para resolver essa questão é entender todas as informações do problema que o enunciado dá pra gente. Por isso, a figura abaixo mostra todos os dados que temos para calcular Δ E .

O Q ˙ da figura é a taxa de calor que o N 2 perde. A taxa Q ˙ é negativa, porque a energia está saindo do tanque rígido!

Q ˙ < 0       ⟹       Q ˙ = - 100   k W

P é a pressão e T é a temperatura do gás que entra no tanque rígido. e e , m a s s a é a energia por quilograma que entra no tanque rígido por causa da entrada de gás. V ˙ e é a vazão volumétrica de gás que entra no tanque rígido. d E d t é a taxa de variação da energia do tanque rígido. Δ t é a duração do processo de enchimento do tanque!

Como a taxa de variação da energia E do tanque rígido d E d t é constante que a derivada de uma reta, podemos calcular d E d t como a derivada de uma reta Δ E Δ t !

Esses são todos os dados que a questão nos informa. Agora, vamos determinar quais equações nós usamos para calcular Δ E .

Passo 2

Como o tanque rígido está recebendo massa de N 2 , ele ganha energia por conta dessa entrada de massa. Ou seja, o tanque rígido é um volume de controle. Por isso, temos que usar a primeira lei para volumes de controle.

d E d t ⏞ Δ E Δ t = Q ˙ - W ˙ + E ˙ e , m a s s a - E ˙ s , m a s s a

Δ E Δ t = Q ˙ - W ˙ + E ˙ e , m a s s a - E ˙ s , m a s s a

Δ E = Q ˙ - W ˙ + E ˙ e , m a s s a - E ˙ s , m a s s a ⋅ Δ t

O primeiro passo para calcular Δ E é entender como encontrar o valor de todas as variáveis da primeira lei da termodinâmica acima! Para conseguir fazer isso, temos que entender primeiro o que cada termo significa!

E ˙ e , m a s s a é a taxa de energia que entra no volume de controle por conta da entrada de massa no volume de controle.   E ˙ s , m a s s a é a taxa de energia que sai do volume de controle por conta da saída de massa do volume de controle.

Agora vamos entender como calcular cada termo da equação!

Passo 3

Como o volume de tanque rígido não varia, o nitrogênio não realiza nem sofre trabalho. Por isso, a taxa de trabalho W ˙ vale:

W ˙ = 0   k W

A taxa de energia que entra no volume de controle por conta da entrada de massa E ˙ e , m a s s a é a vazão mássica de nitrogênio que entra no tanque m ˙ e multiplicada pela energia por quilograma de nitrogênio que entra no tanque e e , m a s s a .

E ˙ e , m a s s a = m ˙ e ⋅ e e , m a s s a

m ˙ e pode ser calculada, multiplicando a vazão volumétrica de N 2 pela massa específica ρ do nitrogênio!

m ˙ e = ρ ⋅ V ˙ e

A massa específica é o inverso do volume específico do gás nitrogênio v .

ρ = 1 v

Esse volume específico v do N 2 pode ser calculado pela fórmula de gás perfeito aplicada ao nitrogênio.

P ⋅ v = R N 2 ⋅ T       ⟹       v = R N 2 ⋅ T P

R N 2 é a constante de gás do N 2 ela vale:

R N 2 = 0,29680   k J k g ⋅ K  

Como não existe gás saindo do volume de controle, E ˙ s , m a s s a vale:

E ˙ s , m a s s a = 0   k W

Já sabemos como achar todas as variáveis da fórmula de Δ E . Então vamos começar a fazer as contas!

Passo 4

Primeiro devemos calcular v do N 2 pela formula de gás perfeito.

v = R N 2 ⋅ T P       ⟹       v = 0,29680 ⋅ 400 300       ⟹       v = 0,396   m 3 k g

Com v podemos encontrar ρ .

ρ = 1 v       ⟹     ρ = 1 0,396       ⟹         ρ = 2,527   k g m 3

Sabendo o valor de ρ , conseguimos converter a vazão volumétrica V ˙ e em vazão mássica m ˙ e .

m ˙ e = ρ ⋅ V ˙ e       ⟹       m ˙ e = 2,527 ⋅ 0,3       ⟹       m ˙ e = 0,758   k g / s

Todos os passos de cálculo realizados até agora serviram para achar E ˙ e , m a s s a .

E ˙ e , m a s s a = m ˙ e ⋅ e e , m a s s a       ⟹     E ˙ e , m a s s a = 0,758 ⋅ 10       ⟹       E ˙ e , m a s s a = 7,58   k W

Enfim podemos calcular Δ E .

Δ E = Q ˙ - W ˙ + E ˙ e , m a s s a - E ˙ s , m a s s a ⋅ Δ t

Δ E = - 100 - 0 + 7,58 - 0 ⋅ 60

Δ E = - 5545,2   k J

Resposta

Δ E = - 5545,2   k J

Exercício Resolvido #6

Um tanque rígido está vazando vapor superaquecido d’água por um furo com 0,05   m