Teoria Completa
A conservação de energia é parecida com a conservação de massa
Na teoria anterior, nós calculamos a variação da massa de uma piscina furada, quando enchemos ela com água.
Através desse exemplo, a gente viu que a taxa de variação de massa da piscina , é igual à massa de água que entra menos a massa de água que sai pelo furo .
Essa fórmula é chamada de conservação de massa para um volume de controle, porque mostra que a massa não é criada ou destruída durante um processo. Ela só muda de lugar!
Nós sabemos que a energia é parecida com a massa, porque ela também se conserva. Ou seja, ela não pode ser criada nem destruída. Então será que a equação de conservação de energia também é parecida com a equação de conservação de massa para volumes de controle? Sim! A taxa de variação da energia é igual à energia que entra menos a energia que sai!
onde:
- é a taxa de variação de energia do volume de controle (V.C.). Sua unidade no Sistema Internacional (S.I.) é o watt ou o joule por segundo . Essas duas unidades são equivalentes:
- é a taxa de energia que entra no volume de controle. Sua unidade no S.I. é o watt ou o joule por segundo ;
- é a taxa de energia que sai no volume de controle. Sua unidade no S.I. é o watt ou o joule por segundo .
Por que a primeira lei para volume de controle é diferente?
Essa fórmula de conservação da energia serve tanto para o volume de controle quanto para o sistema fechado. Nos dois casos, a taxa de variação da energia é igual à energia que entra menos a energia que sai ! Se essa equação vale pros dois, por que aquela fórmula antiga de primeira lei pro sistema fechado não vale também pro volume de controle?
Porque a equação que calcula para o sistema fechado é diferente da equação que calcula para o volume de controle. Ou seja, essa é a única diferença entre os dois! Logo, para entender a equação de conservação de energia do volume de controle, precisamos entender primeiro a equação de conservação de energia para sistemas fechados.
A figura acima relembra como era a fórmula de conservação de energia que estudamos para sistemas fechados. Essa equação nos mostra que a energia do sistema aumenta ou diminui por causa da energia trocada através do calor e do trabalho ! No entanto, vemos que a variação de energia não está na forma de taxa de variação !
Isso quer dizer que a fórmula que temos não é igual a fórmula de taxas de energia que queremos. Então a gente precisa converter essa equação antiga para uma nova forma com taxas. Dessa maneira, a gente vai conseguir entender como o termo é calculado para sistemas fechados. E como fazemos essa conversão? É isso que veremos agora!
Primeira lei para sistemas fechados na forma de taxa de variação
A fórmula antiga de primeira lei mostra a conservação de energia de um sistema fechado durante um processo que vai do estado 1 até o estado 2. Por exemplo, se fervermos uma panela tampada de água líquida, a água vai da fase líquida (estado 1) para vapor (estado2). Esse processo até ela ferver totalmente, esse processo vai durar um tempo .
Nós queremos chegar em uma equação de taxa de variação de energia em relação ao tempo, mas essa equação antiga não diz nada sobre como o processo ocorre durante o intervalo de tempo . Ela só se preocupa com os estados de antes (estado 1) e depois (estado 2) do processo. Então como podemos colocar o tempo nessa equação?
O primeiro passo para transformar a fórmula antiga é dividir todos os termos dessa equação pelo intervalo de tempo de duração processo .
O passo final é fazer o intervalo de tempo ficar cada vez menor. No limite, quando tende a zero, essas divisões viram derivadas! Ou seja, elas viram as taxas de variação em relação ao tempo!
Comparando essa fórmula com a outra equação de taxas, descobrimos que para o sistema fechado:
Entendendo a nova equação de primeira lei para sistemas fechados
Para o sistema fechado, é igual a taxa de energia que entra por calor menos a taxa de energia que sai por trabalho realizado . Essa fórmula só tem dois termos ( e ), porque o sistema só troca energia de dois jeitos.
Já o volume de controle tem três formas de trocar energia com sua vizinhança: por calor, por trabalho ou por troca de massa. A troca de massa com o ambiente faz o volume de controle ganhar mais um jeito de transferir energia! Essa é a diferença real entre o sistema fechado e o volume de controle! Mostraremos o efeito dessa nova forma na primeira lei agora!
A primeira lei para o volume de controle tem termos a mais ( e )!
Acabamos de descobrir que a primeira lei para o volumes de controle é como se fosse uma versão mais complicada da primeira lei para sistema fechado! Por causa disso, podemos dividir os termos da equação do volume de controle em duas partes. A primeira parte é uma cópia da primeira lei para sistemas fechados e a nova parte é a troca de energia por massa!
onde:
- é a taxa de energia que entra no volume de controle através da entrada de massa. Sua unidade no Sistema Internacional de Unidades (S.I.) é o watt ou o joule por segundo ;
- é a taxa de energia que sai do volume de controle através da saída de massa. Sua unidade no Sistema Internacional de Unidades (S.I.) é o watt ou o joule por segundo .
Comparando essa fórmula com a outra equação de taxas, descobrimos que para o volume de controle:
Agora que sabemos disso, vamos treinar tudo o que aprendemos com exercícios!
Exercício Resolvido #1
Um tanque rígido fechado, contendo um vapor, recebe uma taxa constante de calor de . Determine a taxa de variação da energia do vapor durante esse processo de aquecimento.
Passo 1
O exercício pede para a gente determinar a taxa de variação da energia de um vapor que está dentro de um tanque rígido fechado. O primeiro passo para resolver essa questão é entender todas as informações do problema que o enunciado dá pra gente. Por isso, a figura abaixo mostra todos os dados que temos para calcular do vapor.
O da figura é a taxa de calor que o vapor recebe. é a taxa de trabalho (também podemos chamar de potência) que o vapor realiza sobre o ambiente. Como o exercício diz que o tanque é rígido, isso significa que o vapor sempre ocupa o mesmo volume. Ou seja, seu volume não varia e ele não realiza nenhum trabalho de movimento de fronteira. Por isso:
Com isso, descobrimos todos os dados que a questão nos informa. Agora, vamos determinar qual equação nós usamos para calcular .
Passo 2
Como o tanque rígido está fechado, não entra massa nele nem sai massa dele. Ou seja, o tanque forma um sistema fechado. Então para calcular a taxa de variação da energia do vapor, temos que usar a primeira lei para sistemas fechados.
Olhando para a fórmula acima, nós vemos que temos informações sobre todas as variáveis que precisamos ( e ) para calcular . Então vamos começar a fazer as contas!
Passo 3
Resposta
Exercício Resolvido #2
Um conjunto cilindro-pistão fechado, contendo um vapor, perde calor a uma taxa constante de . Sabendo que a energia do vapor não varia durante esse processo, determine a potência realizada pelo vapor sobre o ambiente.
Passo 1
O exercício pede para a gente determinar a taxa de trabalho que o vapor realiza sobre o ambiente que também pode ser chamada de potência. O primeiro passo para resolver essa questão é entender todas as informações do problema que o enunciado dá pra gente. Por isso, a figura abaixo mostra todos os dados que temos para calcular .
O da figura é a taxa de calor que sai do vapor. Como o vapor perde calor, essa taxa é negativa!
Quando o vapor perde calor, seu volume diminui. Isso significa que o vapor comprime e recebe uma taxa trabalho de movimento de fronteira .
é a taxa de variação da energia do vapor. Como o exercício diz que a energia do vapor não varia durante a perda de calor, a taxa de variação da energia é nula!
Com isso, descobrimos todos os dados que a questão nos informa. Agora, vamos determinar qual equação nós usamos para calcular .
Passo 2
Como o conjunto cilindro-pistão está fechado, não entra massa nele nem sai massa dele. Ou seja, o conjunto cilindro-pistão forma um sistema fechado. Então para calcular a potência do vapor, temos que usar a primeira lei para sistemas fechados.
Olhando para a fórmula acima, nós vemos que temos informações sobre todas as variáveis que precisamos ( e ) para calcular . Então vamos começar a fazer as contas!
Passo 3
Atenção! O valor negativo da potência significa que o vapor sofre trabalho!
Resposta
Exercício Resolvido #3
Um conjunto cilindro-pistão fechado, contendo um vapor, perde calor a uma taxa constante de . Sabendo que a energia do vapor varia a uma taxa constante de e que esse processo de resfriamento é isobárico a , determine a taxa de variação do volume do vapor.
Passo 1
O exercício pede para a gente determinar a taxa de variação do volume do vapor . O primeiro passo para resolver essa questão é entender todas as informações do problema que o enunciado dá pra gente. Por isso, a figura abaixo mostra todos os dados que temos para calcular .
O da figura é a taxa de calor que sai do vapor. Como o vapor perde calor, essa taxa é negativa!
é a taxa de variação da energia do vapor. é a pressão do vapor durante o processo de resfriamento.
Esses são todos os dados que a questão nos informa. Agora, vamos determinar quais equações nós usamos para calcular .
Passo 2
Quando o vapor perde calor, seu volume diminui. Isso significa que o vapor comprime e recebe uma taxa trabalho de movimento de fronteira . Como esse trabalho é isobárico, a quantidade de energia por trabalho que o vapor recebe , quando a fronteira se movimenta pode ser calculado pela seguinte fórmula.
é a variação de volume do vapor. No entanto, nós não sabemos quando vale nem queremos calcular . Então como fazemos para transformar essa fórmula em uma equação que tenha as variáveis que precisamos calcular ( e )?
O primeiro passo para transformar a fórmula antiga é dividir todos os termos dessa equação pelo intervalo de tempo de duração processo .
O passo final é fazer o intervalo de tempo ficar cada vez menor. No limite, quando tende a zero, essas divisões viram derivadas! Ou seja, elas viram as taxas de variação em relação ao tempo!
Mas como podemos calcular com essa fórmula se não sabemos quanto vale ? Veremos isso no próximo passo!
Passo 3
Além disso, como o conjunto cilindro-pistão está fechado, não entra massa nele nem sai massa dele. Ou seja, o conjunto cilindro-pistão forma um sistema fechado. Então para calcular a potência do vapor, temos que usar a primeira lei para sistemas fechados.
Substituindo a fórmula de potência movimento de fronteira na equação acima, achamos a fórmula para calcular .
Olhando para a fórmula acima, nós vemos que temos informações sobre todas as variáveis que precisamos (, e ) para calcular . Então vamos começar a fazer as contas!
Passo 4
Atenção! O valor negativo de significa que o vapor comprimiu!
Resposta
Exercício Resolvido #4
Um conjunto cilindro-pistão, contendo um vapor, perde de calor a cada segundo. Enquanto o vapor é resfriado, de taxa de energia saem do conjunto cilindro-pistão através da massa de vapor que vaza pela folga entre o pistão e o cilindro. Sabendo que o volume do pistão diminui a uma taxa constante de e que esse processo de resfriamento é isobárico a , determine a taxa de variação da energia do vapor.
Passo 1
O exercício pede para a gente determinar a taxa de variação da energia do vapor do cilindro-pistão . O primeiro passo para resolver essa questão é entender todas as informações do problema que o enunciado dá pra gente. Por isso, a figura abaixo mostra todos os dados que temos para calcular .
O da figura é a taxa de calor que sai do vapor. Como o vapor perde calor, essa taxa é negativa!
é a taxa de variação do volume do vapor. Ela é negativa, porque o volume do vapor diminui.
é a pressão do vapor durante o processo de resfriamento. é a taxa de energia que sai do conjunto cilindro-pistão por causa do vazamento de vapor.
Esses são todos os dados que a questão nos informa. Agora, vamos determinar quais equações nós usamos para calcular .
Passo 2
Quando o vapor perde calor e vaza, seu volume diminui. Isso significa que o vapor comprime e recebe uma taxa trabalho de movimento de fronteira . Como esse trabalho é isobárico, a quantidade de energia por trabalho que o vapor recebe , quando a fronteira se movimenta pode ser calculado pela seguinte fórmula.
é a variação de volume do vapor. No entanto, nós não sabemos quando vale nem . Então como fazemos para transformar essa fórmula em uma equação que tenha os dados informados pelo enunciado ( e ) e a taxa de trabalho precisamos achar ?
O primeiro passo para transformar a fórmula antiga é dividir todos os termos dessa equação pelo intervalo de tempo de duração processo .
O passo final é fazer o intervalo de tempo ficar cada vez menor. No limite, quando tende a zero, essas divisões viram derivadas! Ou seja, elas viram as taxas de variação em relação ao tempo!
No próximo passo poderemos finalmente aprender a calcular !
Passo 3
Como o conjunto cilindro-pistão está vazando vapor, sai massa dele. Ou seja, o conjunto cilindro-pistão forma um volume de controle, porque ele troca massa com o ambiente ao seu redor. Então para calcular a taxa de variação de energia do vapor, temos que usar a primeira lei para volumes de controle.
é a taxa de energia que entra no volume de controle por conta da entrada de massa no volume de controle. Como não existe vapor entrando no volume de controle, vale:
Já sabemos como achar todas as variáveis da fórmula da primeira lei. Então vamos começar a fazer as contas!
Passo 4
O prmeiro passo é calcular a taxa de trabalho realizado sobre o vapor de dentro do cilindro-pistão.
Podemos agora usar a primeira lei da termodinâmica para volume de controle.
Resposta
Exercício Resolvido #5
Um tanque rígido está sendo preenchido com nitrogênio a uma vazão volumétrica constante de . O nitrogênio que entra está a e . Cada quilograma desse nitrogênio aumenta de energia do tanque. O processo de enchimento dura e a taxa de variação da energia do nitrogênio presente no tanque permanece constante durante esse intervalo de tempo. Sabendo que o nitrogênio do tanque perde de calor durante esse processo, calcule a variação de energia do dentro do tanque do início ao fim do enchimento. Considere que o nitrogênio se comporta como um gás ideal.
Passo 1
O exercício pede para a gente determinar a variação da energia do do tanque rígido . O primeiro passo para resolver essa questão é entender todas as informações do problema que o enunciado dá pra gente. Por isso, a figura abaixo mostra todos os dados que temos para calcular .