Conservação de Energia do Volume de Controle

Teoria Completa

A conservação de energia é parecida com a conservação de massa

Na teoria anterior, nós calculamos a variação da massa de uma piscina furada, quando enchemos ela com água.

Através desse exemplo, a gente viu que a taxa de variação de massa da piscina d m V . C . d t , é igual à massa de água que entra m ˙ e menos a massa de água que sai pelo furo m ˙ s .

d m V . C . d t = m ˙ e - m s ˙

Essa fórmula é chamada de conservação de massa para um volume de controle, porque mostra que a massa não é criada ou destruída durante um processo. Ela só muda de lugar!

Nós sabemos que a energia é parecida com a massa, porque ela também se conserva. Ou seja, ela não pode ser criada nem destruída. Então será que a equação de conservação de energia também é parecida com a equação de conservação de massa para volumes de controle? Sim! A taxa de variação da energia é igual à energia que entra menos a energia que sai!

d E d t = E ˙ e - E ˙ s

onde:

  • d E d t é a taxa de variação de energia do volume de controle (V.C.). Sua unidade no Sistema Internacional (S.I.) é o watt W ou o joule por segundo J / s . Essas duas unidades são equivalentes:

1 J / s = 1   W

  • E ˙ e é a taxa de energia que entra no volume de controle. Sua unidade no S.I. é o watt W ou o joule por segundo J / s ;
  • E ˙ s é a taxa de energia que sai no volume de controle. Sua unidade no S.I. é o watt W ou o joule por segundo J / s .

Por que a primeira lei para volume de controle é diferente?

Essa fórmula de conservação da energia serve tanto para o volume de controle quanto para o sistema fechado. Nos dois casos, a taxa de variação da energia d E d t é igual à energia que entra E ˙ e menos a energia que sai E ˙ s ! Se essa equação vale pros dois, por que aquela fórmula antiga de primeira lei pro sistema fechado não vale também pro volume de controle?

Porque a equação que calcula E ˙ e - E ˙ s para o sistema fechado é diferente da equação que calcula E ˙ e - E ˙ s para o volume de controle. Ou seja, essa é a única diferença entre os dois! Logo, para entender a equação de conservação de energia do volume de controle, precisamos entender primeiro a equação de conservação de energia para sistemas fechados.

A figura acima relembra como era a fórmula de conservação de energia que estudamos para sistemas fechados. Essa equação nos mostra que a energia do sistema aumenta ou diminui por causa da energia trocada através do calor Q e do trabalho W ! No entanto, vemos que a variação de energia E 2 - E 1 não está na forma de taxa de variação d E d t !

Isso quer dizer que a fórmula que temos não é igual a fórmula de taxas de energia que queremos. Então a gente precisa converter essa equação antiga para uma nova forma com taxas. Dessa maneira, a gente vai conseguir entender como o termo E ˙ e - E ˙ s é calculado para sistemas fechados. E como fazemos essa conversão? É isso que veremos agora!

Primeira lei para sistemas fechados na forma de taxa de variação

A fórmula antiga de primeira lei mostra a conservação de energia de um sistema fechado durante um processo que vai do estado 1 até o estado 2. Por exemplo, se fervermos uma panela tampada de água líquida, a água vai da fase líquida (estado 1) para vapor (estado2). Esse processo até ela ferver totalmente, esse processo vai durar um tempo Δ t .

Nós queremos chegar em uma equação de taxa de variação de energia em relação ao tempo, mas essa equação antiga não diz nada sobre como o processo ocorre durante o intervalo de tempo Δ t . Ela só se preocupa com os estados de antes (estado 1) e depois (estado 2) do processo. Então como podemos colocar o tempo nessa equação?

O primeiro passo para transformar a fórmula antiga é dividir todos os termos dessa equação pelo intervalo de tempo de duração processo Δ t .

E 2 - E 1 Δ t = Q Δ t - W Δ t ⟹ Δ E Δ t = Q Δ t - W Δ t

O passo final é fazer o intervalo de tempo Δ t ficar cada vez menor. No limite, quando Δ t tende a zero, essas divisões viram derivadas! Ou seja, elas viram as taxas de variação em relação ao tempo!

lim Δ t ⟶ 0 ⁡ Δ E Δ t = d E d t

lim Δ t ⟶ 0 ⁡ Q Δ t = Q ˙

lim Δ t ⟶ 0 ⁡ W Δ t = W ˙

d E d t = Q ˙ - W ˙

Comparando essa fórmula com a outra equação de taxas, descobrimos que para o sistema fechado:

d E d t = E ˙ e - E ˙ s d E d t = Q ˙ - W ˙         ⟹ E ˙ e - E ˙ s = Q ˙ - W ˙

Entendendo a nova equação de primeira lei para sistemas fechados

Para o sistema fechado, E ˙ e - E ˙ s é igual a taxa de energia que entra por calor Q ˙ menos a taxa de energia que sai por trabalho realizado W ˙ . Essa fórmula só tem dois termos ( Q ˙ e W ˙ ), porque o sistema só troca energia de dois jeitos.

Já o volume de controle tem três formas de trocar energia com sua vizinhança: por calor, por trabalho ou por troca de massa. A troca de massa com o ambiente faz o volume de controle ganhar mais um jeito de transferir energia! Essa é a diferença real entre o sistema fechado e o volume de controle! Mostraremos o efeito dessa nova forma na primeira lei agora!

A primeira lei para o volume de controle tem termos a mais ( E ˙ e , m a s s a e E ˙ s , m a s s a )!

Acabamos de descobrir que a primeira lei para o volumes de controle é como se fosse uma versão mais complicada da primeira lei para sistema fechado! Por causa disso, podemos dividir os termos da equação do volume de controle em duas partes. A primeira parte é uma cópia da primeira lei para sistemas fechados e a nova parte é a troca de energia por massa!

onde:

  • E ˙ e , m a s s a é a taxa de energia que entra no volume de controle através da entrada de massa. Sua unidade no Sistema Internacional de Unidades (S.I.) é o watt W ou o joule por segundo J / s ;
  • E ˙ s , m a s s a é a taxa de energia que sai do volume de controle através da saída de massa. Sua unidade no Sistema Internacional de Unidades (S.I.) é o watt W ou o joule por segundo