Conservação de Massa do Volume de Controle

Teoria Completa

Relembrando o que são os sistemas fechados

Até agora nós só estudamos sistemas fechados! Ou seja, nós só fizemos exercícios de sistemas que não deixavam massa entrar nem sair das suas fronteiras. Alguns exemplos de sistemas fechados são: a água dentro de uma panela fechada, o gás dentro de um conjunto cilindro-pistão e um vapor dentro de um tanque rígido.

Todos esses sistemas fechados têm uma característica em comum! Eles estão separados do seu ambiente por barreiras reais. A panela, por exemplo, é uma barreira real que separa a água do ar ambiente. Ela impede qualquer substância de entrar e sair do volume ocupado pela água. Ou seja, não tem passagem de massa pela fronteira dos sistemas fechados.

Começar nossos estudos por esses sistemas foi muito importante, porque as fórmulas de sistemas fechados são mais simples que as fórmulas de volumes de controle. Mas por que as fórmulas de volumes de controle são mais difíceis, se as leis da física são as mesmas para os dois sistemas? Para responder isso, precisamos lembrar antes o que é um volume de controle!

Relembrando o que são os volumes de controle

Alguns exemplos comuns de volume de controle são: um tanque sendo enchido com um líquido, um condicionador de ar e um trecho de tubulação de água. Em todos esses casos, massa pode entrar e sair dos sistemas. Eles estão abertos para trocar massa com o ambiente ao redor! Por causa disso, eles também são chamados de sistemas abertos.

Ao contrário de sistemas fechados, os volumes de controle não são totalmente separados do ambiente por barreiras físicas. Algumas partes da sua fronteira (ou toda ela) são imaginárias. Ou seja, essa fronteira é só um limite que marcamos para saber onde acaba e onde começa o nosso sistema. Por causa disso, massa pode entrar e sair, atravessando a fronteira.

Isso quer dizer que a grande diferença entre sistema fechado e sistema aberto está no tipo de fronteira de cada um. No sistema fechado, a fronteira impede troca de massa. Isso faz a sua massa ser constante durante qualquer processo. Já no sistema aberto, a fronteira deixa massa entrar e sair. Isso complica as fórmulas de sistema aberto, porque sua massa pode variar!

Variação da massa em um volume de controle

Vimos que o maior desafio para entender os volumes de controle é entender as mudanças que a troca de massa causa dentro do volume de controle. Uma dessas mudanças é a variação da massa do volume de controle! No sistema fechado, o valor da massa era sempre igual. No volume de controle, ela pode variar! Então como podemos calcular essa variação de massa?

Para entender isso, vamos pensar no exemplo a seguir! Imagine que o calor está forte na sua cidade. Por causa disso, você decidiu encher a sua piscina de plástico velha, que está guardada há muito tempo. O problema é que ela está com um pequeno furo! Logo, assim que você começar a encher a piscina, uma parte da água começa a sair pelo furo.

Se a mangueira coloca na piscina 0,1   k g de água a cada segundo e o furo tira da piscina 0,01   k g de água a cada segundo, quantos quilogramas de água a piscina acumula por segundo? Para saber essa taxa de variação de massa de água da piscina, precisamos diminuir o que entra de água do que sai de água.

d m V . C . d t = m ˙ e - m s ˙

onde:

  • d m V . C . d t é a taxa de variação de massa do volume de controle (V.C.). Sua unidade no Sistema Internacional (S.I.) é o quilograma por segundo k g / s ;
  • m ˙ e é a quantidade de massa que entra no volume de controle por segundo. Ela é chamada de vazão mássica de entrada. Sua unidade no S.I. é o quilograma por segundo k g / s ;
  • m ˙ s é a quantidade de massa que sai no volume de controle por segundo. Ela é chamada de vazão mássica de saída. Sua unidade no S.I. é o quilograma por segundo k g / s .
  • No nosso exemplo, o volume de controle é a água da piscina. Então d m V . C . d t é a taxa de variação da massa de água na piscina por unidade de tempo (segundo). A vazão mássica de entrada m ˙ e de água vale 0,1   k g / s . A vazão mássica de saída m ˙ s de água vale 0,01   k g / s .

    d m V . C . d t = 0,1 - 0,01 ⟹ d m V . C . d t = 0,09   k g s

    Ou seja, a massa de água da piscina aumenta 0,09   k g a cada segundo!

    Chamamos essa fórmula de conservação de massa, porque ela mostra que a massa não é perdida ou destruída durante um processo. Ela só muda de lugar! Ou ela entra e se acumula no volume de controle ou ela sai e esvazia o volume de controle. Essa equação também é chamada de balanço de massa ou equação da continuidade.

    Exemplo mais difícil de variação da massa em um volume de controle

    No exercício que acabamos de fazer, só existia uma vazão de entrada (uma mangueira enchendo a piscina) e uma vazão de saída (um furo esvaziando a piscina). Como ficaria o cálculo da taxa de variação da massa de água, caso a existam várias mangueiras e vários furos na piscina?

    Para entender como fazer as contas, considere que três mangueiras estão enchendo a piscina a 0,1   k g / s cada e que dois furos estão esvaziando a piscina a 0,01   k g / s cada. Quantos quilogramas de água a piscina acumula por segundo? Dessa vez, a taxa de variação de massa de água da piscina vai ser o total de água que entra menos o total de água que sai da piscina.

    d m V . C . d t = ∑ m ˙ e - ∑ m s ˙

    onde:

  • ∑ m ˙ e é o somatório da quantidade de massa que entra no volume de controle por segundo. Sua unidade no S.I. é o quilograma por segundo k g / s ;
  • ∑ m ˙ s é o somatório da quantidade de massa que sai no volume de controle por segundo. Sua unidade no S.I. é o quilograma por segundo k g / s .

Nesse novo exemplo, a vazão mássica de entrada total é a soma das vazões fornecidas por cada mangueira ∑ m ˙ e .

∑ m ˙ e = 0,1 + 0,1 + 0,1 ⟹ ∑ m ˙ e = 0,3   k g s

Já a vazão mássica de saída total é a soma das vazões de água em cada furo ∑ m ˙ s .

∑ m ˙ s = 0,01 + 0,01 ⟹ ∑ m ˙ s = 0,02   k g s

Por isso, o resultado acúmulo de água é igual a:

d m V . C . d t = 0,3 - 0,02 ⟹ d m V . C . d t = 0,28   k g s

Como converter vazão volumétrica V ˙ em vazão mássica m ˙

No exemplo que fizemos, foi informada a quantidade de massa que entrava m ˙ e e a quantidade de massa que saía m ˙ s do volume de controle. No entanto, o enunciado da maioria dos exercícios de termodinâmica só diz o volume de substância que entra e o volume de substância que sai do volume de controle. Como convertemos esse volume para massa?

Para fazer essa conversão, nós precisamos conhecer a massa específica ρ da substância que está entrando e saindo do volume de controle. Conhecendo esse valor, transformamos o volume em massa, multiplicando o volume pela massa específica da substância ρ .

m ˙ = ρ ⋅ V ˙

onde:

  • V ˙ é o volume da substância que entra ou sai do volume de controle por segundo. Ela é chamada de vazão volumétrica. Sua unidade no S.I. é o metro cúbico por segundo m 3 / s ;
  • ρ é a massa específica da substância que entra ou sai do volume de controle. Sua unidade no S.I. é o quilograma por metro cúbico k g / m 3 ;
  • m ˙ é a vazão mássica que entra ou sai do volume de controle.

Agora imagine que uma mangueira coloque 0,001   m 3 / s de água na piscina. Ao mesmo tempo, um furo tira 0,0001   m 3 / s de água da piscina. Quantos quilogramas de água a piscina acumula por segundo, considerando que a massa específica da água ρ H 2 O