5) Calcule cada um dos limites abaixo.

l) lim x → 0 ⁡ tan ⁡ x x

Passo 1

Fala aí, galerinha!! Nesse exercício nos deparamos com esse limite aqui

lim x → 0 ⁡ tan ⁡ x x

A primeira coisa que a gente faz é testar o que acontece quando substituímos aquele x = 0 na nossa função:

lim x → 0 ⁡ tan ⁡ x x = 0 0

EPA! Nos deparamos com uma indeterminação... E esse tipo de indeterminação nos permite usar a regra de L’Hospital. Essa regra nos fala que o limite lim x → 0 ⁡ tan ⁡ x x

É igual ao limite das derivadas das funções

lim x → 0 ⁡ tan ⁡ x x =   lim x → 0 ⁡ ( tan ⁡ x ) ' ( x ) ' Se a gente fizer isso e não se deparar com nenhuma indeterminação, resolvemos! Caso a gente se depare com uma outra indeterminação, a gente usa a regra mais uma vez até acabar com o problema, beleza? Então vamos lá resolver essa!

Passo 2

Nosso limite que precisamos resolver é:

lim x → 0 ⁡ tan ⁡ x x

A regra de L’Hospital nos permite escrever:

lim x → 0 ⁡ tan ⁡ x x =   lim x → 0 ⁡ tan ⁡ x ' x '

Usando as derivadas temos

lim x → 0 ⁡ tan ⁡ x ' x ' =   lim x → 0 ⁡ sec 2 ⁡ x 1 =   lim x → 0 ⁡ sec 2 ⁡ x

Aplicando o limite e lembrando que   sec ⁡ 0 = 1 a gente obtém

lim x → 0 ⁡ sec 2 ⁡ x = sec 2 ⁡ 0 = 1  

E aí resolvemos essa 😊 Vamos para a próxima?

Resposta

lim x → 0 ⁡ tan ⁡ x x = 1

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre o limite. Use a Regra de L’Hospital onde for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê. lim θ → π / 2⁡ 1 - s e n ( θ
Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
Use Lh’ospital o limite underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x + s e n x)
Calculel) underset(x - 0)(lim) (t g 3 x - s e n x)/(s e n^3 x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x)