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Exercícios Resolvidos de Regra de L’Hospital – Indeterminação ∞/∞ e 0/0

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Enunciado

Calcule o limite.

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ ( arcsen ⁡ x ) cot ⁡ x

Passo 1

Vamos fazer a substituição do x e ver o que acontece.

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ ( arcsen ⁡ x ) cot ⁡ x = ln ⁡ ( arcsen ⁡ 0 ) cot ⁡ 0 = ∞ ∞

Vish! Indefinição. O lado bom é que nesse caso podemos usar a Regra de L’Hopital.

Passo 2

Então vamos nessa, temos que derivar a função de cima e a função de baixo.

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ ( arcsen ⁡ x ) cot ⁡ x = lim x → 0 + ⁡ ( ln ⁡ ( arcsen ⁡ x ) ) ' ( cot ⁡ x ) '

lim x → 0 + ⁡ 1 arcsin ⁡ x . ( arcsen ⁡ x ) ' - csc ² ⁡ x

lim x → 0 + ⁡ 1 arcsen ⁡ x . 1 1 - x ² - csc ² ⁡ x

Passo 3

Fazendo a substituição do x na expressão acima ainda saímos da indeterminação. Temos que ajeitar a expressão e tentar aplicar L’Hopital novamente.

lim x → 0 + ⁡ 1 1 - x ² arcsen ⁡ x ( - csc ² ⁡ x )

lim x → 0 + ⁡ - 1 1 - x ² arcsen ⁡ x . 1 sen ² ⁡ x

lim x → 0 + ⁡ - sen ² ⁡ x 1 - x ² arcsen ⁡ x

Tente substituir x na expressão acima e você vai encontrar a indeterminação 0 0 . Então podemos aplicar L’Hopital.

lim x → 0 + ⁡ - 2 sen ⁡ x cos ⁡ x - x ⋅ arcsen ⁡ x 1 - x 2 + 1

Fazendo a substituição do x agora temos

2 sen ⁡ 0 cos ⁡ 0 0 ⋅ arcsen ⁡ 0 1 - 0 2 + 1 = 0 0 + 1 = 0 1 = 0

Resposta

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ ( arcsen ⁡ x ) cot ⁡ x = 0

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre o limite. Use a Regra de L’Hospital onde for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê. lim θ → π / 2⁡ 1 - s e n ( θ
Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
Use Lh’ospital o limite underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x + s e n x)
Calculel) underset(x - 0)(lim) (t g 3 x - s e n x)/(s e n^3 x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x)