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Exercícios Resolvidos de Regra de L’Hospital – Indeterminação ∞/∞ e 0/0

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Enunciado

Calcule:

lim x → ∞ ⁡ x e x ln ⁡ x + 1

Passo 1

Vamos verificar se a senhora indeterminação está lá:

lim x → ∞ ⁡ x e x ln ⁡ x + 1 ⟹ l i m x → ∞ x e x lim x → ∞ ln ⁡ x + 1 ⟹ ∞ ⋅ ∞ ln ⁡ ∞ ⟹ ∞ ∞

Então podemos aplicar o titio L’Hôpital.

Passo 2

lim x → ∞ ⁡ x e x ln ⁡ x + 1 = lim x → ∞ ⁡ [ x e x ] ' [ ln ⁡ x + 1 ] '

Para derivar o numerador, usamos a regra do produto:

x e x ' = x ' e x + x e x ' = e x + x e x = e x ( 1 + x )

Para o denominador, usamos a regra da cadeia:

[ ln ⁡ x + 1 ] ' = 1 x + 1 ⋅ x + 1 ' = 1 x + 1

Substituindo tudo:

… = lim x → ∞ ⁡ x e x ' [ ln ⁡ x + 1 ] ' = lim x → ∞ ⁡ e x 1 + x 1 x + 1

Invertendo

… = l i m x → ∞ e x 1 + x ⋅ x + 1 = l i m x → ∞ e x 1 + x 2 = " ∞ ⋅ ∞ " = ∞

Resposta

lim x → ∞ ⁡ x e x ln ⁡ x + 1 = ∞

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Encontre o limite. Use a Regra de L’Hospital onde for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê. lim θ → π / 2⁡ 1 - s e n ( θ
Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
Use Lh’ospital o limite underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x + s e n x)
Calculel) underset(x - 0)(lim) (t g 3 x - s e n x)/(s e n^3 x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x)