1 8 . O valor do limite lim x → 0 ⁡ ln ⁡ ( cos ⁡ 10 x ) ln ⁡ ( cos ⁡ 4 x ) é

A : 0 .

B : 100 .

C : 4 25 .

D : 1 100 .

E : 25 4 .

Passo 1

Vem comigo que a gente resolve essa juntos!

Temos o seguinte limite:

lim x → 0 ⁡ ln ⁡ ( cos ⁡ 10 x ) ln ⁡ ( cos ⁡ 4 x )

Se fizéssemos logo de cara x → 0 teríamos algo do tipo ∞ ∞ , então a gente pode usar L’Hopital, que é derivar o numerador e o denominador.

Tendo esse resultado vamos fazer x → 0 , se encontrarmos de novo ∞ ∞ podemos aplicar L’Hopital de novo até encontramos algo descente.

Passo 2

Temos:

lim x → 0 ⁡ ln ⁡ ( cos ⁡ 10 x ) ln ⁡ ( cos ⁡ 4 x )

Aplicando L’Hopital, temos:

lim x → 0 ⁡ - 1 0 sin ⁡ 10 x cos ⁡ 10 x - 4 sin ⁡ 4 x cos ⁡ 4 x = lim x → 0 ⁡ 10 4 tg ⁡ 10 x tg ⁡ 4 x = 5 2 lim x → 0 ⁡ tg ⁡ 10 x tg ⁡ 4 x

Se fizermos x → 0 , teremos 0 0 , então podemos aplicar L’Hopital mais uma vez

Passo 3

Vamos aplicar L’Hopital mais uma vez, assim:

5 2 lim x → 0 ⁡ tg ⁡ 10 x tg ⁡ 4 x = 5 2 lim x → 0 ⁡ 10 sec 2 ⁡ 10 x 4 sec 2 ⁡ 4 x

Se fizermos x → 0 , teremos:

5 2 lim x → 0 ⁡ 10 sec 2 ⁡ 10 ( 0 ) 4 sec 2 ⁡ 4 ( 0 ) = 25 4

Então a única correta é a letra E .

Resposta

E : 25 4

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre o limite. Use a Regra de L’Hospital onde for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê. lim θ → π / 2⁡ 1 - s e n ( θ
Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
Use Lh’ospital o limite underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x + s e n x)
Calculel) underset(x - 0)(lim) (t g 3 x - s e n x)/(s e n^3 x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x)