UFABC – Cálculo 1 – Lista 4 – 6k
Calcule os seguintes limites usando L’Hopital quando possível
Passo 1
O que é a regra do L’Hopital? Simplesmente nossa salvação quando temos um limite difícil de resolver! Hahah
Basicamente você vai derivando a função até ela parar de dar ruim kkkk
Mas algo sempre de extrema importância antes de sair tacando derivada e L’Hopital, é ver se a função vai ter um limite quando substituirmos o valor pelo qual x está tendendo.
Passo 2
Note que se fizermos substituição direta, teremos:
No denominador já vamos ter um k.o, né...pois e teríamos algo divido por zero que é uma indeterminação.
Ou seja, precisamos aplicar L’Hopital pra acharmos esse limite!!!
Passo 3
Primeira coisa que vamos fazer aqui é lembrar que vamos precisar aplicar a regra do quociente nesse problema, pois temos uma divisão de duas funções, certo?
Chamando , temos que a derivada de
Olhando pra nossa primeira derivada, já vamos ter que usar regra da cadeia, pois temos uma função composta.
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia, temos:
Lembrando que , logo . Além disso, lembrando que , na verdade, temos que:
Por sua vez, voltando a regra do quociente, a derivada de
Passo 5
Substituindo na regra do quociente, temos:
Fazendo agora o limite disso, temos:
Note que o numerador dará um valor e o denominador um valor tendendo a zero, implicando que temos um resultado infinito.