Seja:
Encontre de modo que a função seja contínua em . Para esse valor de determine se é derivável em . Justifique sua resposta.
Passo 1
Show, questão sobre continuidade. Uma função contínua tem uma propriedade bacana que nos salva aqui. Essa propriedade vai ser:
E isso tem que valer pra qualqueeer que a gente escolha. Só pra gente não testar todos os valores de do mundo, que são infinitos, a gente escolhe exatamente aquele em que a lei de formação muda, beleza? Vamos ter:
Como é uma função contínua, podemos de cara simplificar essa igualdade, de forma que:
E logo:
Show, falta um limite ai pra gente fazer. Pra isso, note que, não importa quem está dentro do seno, sempre vai valer:
Multiplicando os dois lados por e aplicando o limite, estamos então usando o Teorema do Confronto! Saca só:
E logo:
Fechamos! A função então será contínua se !
Passo 2
Beleza, agora pra sabermos se a função é derivável em , temos que garantir duas coisas:
- Que ela seja contínua nesse ponto, o que tá de boas, já provamos
- Que a definição de derivada se aplique
Então vamos testar o item , que é o mesmo que garantir a seguinte igualdade:
Pra isso, vamos precisar um limite pra cada lei de formação. Da uma olhada em como fica pra primeira lei:
Analogamente ao que fizemos no passo , se usarmos o teorema do confronto, achamos:
Agora pra segunda lei de formação, temos:
Calculando esse limite, acabamos achando uma indeterminação, saca só:
Não da pra deixar assim né? Felizmente podemos usar a famosa Regra de L’Hospital porque o tipo de indeterminação encaixa com a regra. Realizando LH temos:
Opa, então fechamos! A nossa igualdade realmente vai ser válida! Afinal os dois limites que achamos são iguais, mesmo que tenham funções diferentes dentro deles:
A minha função é sim derivável em !
Resposta
Função é derivável pois vale: