Sejam e duas funções definidas em . Suponha que e que . Com relação ao valor de , é correto afirmar que:
- O limite existe e é igual a
- O limite existe e é igual a
- Este limite não pode ser determinado por depender de e
- O limite existe e é igual à
Passo 1
Reescrever os dados do enunciado
Aqui o pulo do gato vai ser reescrever os dados do enunciado para algumas propriedades ficarem evidentes. Vamos lá:
Todas essas relações acima vieram do enunciado e das propriedades dos limites. O que a questão exige da gente é saber usar essas belezinhas aí pra extrair alguma informação sobre .
Passo 2
Discutir sobre quando não existe e quando existe e é um número, ou .
Ok Ok, talvez ainda esteja confuso. Mas calma lá, vamos pensar. Se
Então o limite que o enunciado pede fica:
Eita ferro, uma indeterminação do tipo que dá pra resolver por L’Hospital. Normalmente, a gente só precisaria aplicar LH e tava tudo resolvido, mas aqui vamos precisar lembrar o que acontece quando fazemos isso. A regra de L’Hospital da certo porque começamos a comparar a equação das retas tangentes de e ao invés das funções originais. Portanto, resultados possíveis são:
Agora, da uma olhada nisso tab[em, se
Então o limite que o enunciado pede fica:
Outra ideterminação, mas veja que:
É aqui que entra a sagacidade da questão: a gente já sabe que a linha é verdadeira porque sabemos que essa diferença da . Sendo assim, com , e crescem de forma semelhante, tornando falsas as linhas e . E agora você pode abrir um sorrisão porque se e são falsas, então as letras e são falsas também!
E olha só! As funções estão crescendo pra ! Então a possibilidade do limite ser negativo não existe! Em outras palavras, afirmar que é a verdadeira dentre as primeiras, é o mesmo que escolher entre e a letra . Pronto! Questão resolvida. Mas vamos ver essa linha de raciocínio de uma forma mais matemática agora? Vamos lá:
Passo 3
Usar o matematiquês ao invés do português
Beleza, falamos muito no passo anterior né? Vamos então mostrar tudo que foi discutido com algebrismo:
ATENÇÃO! A LETRA SERIA A CORRETA CASO A INFORMAÇÃO DO LIMITE DAS DIFERENÇAS NÃO NOS FOSSE DADA!
Resposta
O limite existe e é igual a