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Exercícios Resolvidos de Regra de L’Hospital – Indeterminação ∞/∞ e 0/0

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Enunciado

Esboço de Curvas

Esboce, no espaço abaixo, o gráfico da função f x = x 2 x - 1 e - 1 x , determinando:

i ) o domínio de f e limites pertinentes;

Passo 1

Para achar o domínio devemos raciocinar aonde nossa função não pode existir (que x complicaria sua existência). Nessa f ( x ) temos dois denominadores que não podem zerar, um é o ( x - 1 ) e o outro é o do expoente, o ( x ) . Logo,

x ≠ 0

x ≠ 1

Ou seja, D o m = R - { 0,1 } .

Passo 2

Sobre os limites pertinentes, vamos usar o limite nas descontinuidades e no ± ∞ :

Começando com os limites das descontinuidades, aqui temos que fazer os limites laterais porque temos descontinuidades,

Começando com x → 0

lim x → 0 - ⁡ f x = lim x → 0 - ⁡ x 2 x - 1 e - 1 x = - lim x → 0 - ⁡ e - 1 x 1 x 2 ⇒ L ' H - lim x → 0 - ⁡ 1 x 2 e - 1 x - 2 x 3

= - 1 2 lim x → 0 - ⁡ e - 1 x - 1 x ⇒ L ' H - 1 2 lim x → 0 - ⁡ - 1 x ' e - 1 x - 1 x ' = - 1 2 lim x → 0 - ⁡ e - 1 x = - ∞

lim x → 0 + ⁡ f ( x ) = lim x → 0 + ⁡ x 2 x - 1 e - 1 x = 0 - 1 e - ∞ = 0

Agora com x → 1

lim x → 1 - ⁡ f ( x ) = lim x → 1 - ⁡ x 2 x - 1 e - 1 x = 1 e lim x → 1 - ⁡ 1 x - 1 = - ∞

lim x → 1 + ⁡ f ( x ) = lim x → 1 + ⁡ x 2 x - 1 e - 1 x = 1 e lim x → 1 + ⁡ 1 x - 1 = + ∞

Passo 3

Vamos agora aos limites com x indo para ± ∞

lim x → - ∞ ⁡ f ( x ) = lim x → - ∞ ⁡ x 2 x - 1 e - 1 x = e 0 lim x → - ∞ ⁡ x 2 x - 1 ⇒ L ' H lim x → - ∞ ⁡ 2 x = - ∞

lim x → + ∞ ⁡ f ( x ) = lim x → + ∞ ⁡ x 2 x - 1 e - 1 x = e 0 lim x → + ∞ ⁡ x 2 x - 1 ⇒ L ' H e 0 lim x → + ∞ ⁡ 2 x = + ∞

Deu trabalho mas acabou, amém!

Resposta

D o m = R - { 0,1 }

lim x → 0 - ⁡ f x = - ∞

lim x → 0 + ⁡ f ( x ) = 0

lim x → 1 - ⁡ f x = - ∞

lim x → 1 + ⁡ f x = + ∞ ;

lim x → - ∞ ⁡ f x = - ∞

lim x → + ∞ ⁡ f ( x ) = + ∞

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Encontre o limite. Use a Regra de L’Hospital onde for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê. lim θ → π / 2⁡ 1 - s e n ( θ
Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
Use Lh’ospital o limite underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x + s e n x)
Calculel) underset(x - 0)(lim) (t g 3 x - s e n x)/(s e n^3 x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x)