Determine:

  1. lim x → 0 ⁡ tan ⁡ 7 x s e n 3 x
  2. lim r → ∞ ⁡ r 2 - 3 2 r 3
  3. Um intervalo de comprimento igual a 1 que contém uma raiz de f x = x 5 + x + 1 .

Passo 1

Vamos começar essa prova com uma questão de limites, vamos fazer um por um para mostrar que não tem mistério, começando pela letra “a”:

lim x → 0 ⁡ tan ⁡ 7 x s e n 3 x

Começamos sempre substituindo o valor de x pelo seu limite na expressão e vemos o que acontece:

lim x → 0 ⁡ tan ⁡ 7 x s e n 3 x = tan ⁡ 7 ⋅ 0 s e n 3 ⋅ 0 = tan ⁡ 0 s e n 0

Como tanto a tangente de zero e o seno de zero são iguais a zero, temos um limite igual a uma indeterminação de zero dividido por zero:

lim x → 0 ⁡ tan ⁡ 7 x s e n 3 x = tan ⁡ 0 s e n 0 = 0 0

Passo 2

Então o que fazemos? Aplicamos o Teorema de L’Hospital! Vamos derivar tanto o numerador quanto o denominador e aplicar o limite novamente:

lim x → 0 ⁡ tan ⁡ 7 x s e n 3 x = lim x → 0 ⁡ tan ⁡ 7 x ' s e n 3 x '

Nas duas derivadas, temos uma função de x dentro do elemento da tangente e do seno, então precisamos usar a Regra da Cadeia:

tan ⁡ 7 x = 7 ⋅ sec 2 ⁡ 7 x

s e n 3 x = 3 ⋅ cos ⁡ 3 x

Voltando ao nosso limite:

lim x → 0 ⁡ tan ⁡ 7 x s e n 3 x = lim x → 0 ⁡ tan ⁡ 7 x ' s e n 3 x ' = lim x → 0 ⁡ 7 ⋅ sec ⁡ 7 x 3 ⋅ c o s 3 x

Vamos aplicar x = 0 , novamente:

lim x → 0 ⁡ tan ⁡ 7 x s e n 3 x = lim x → 0 ⁡ 7 ⋅ sec ⁡ 7 x 3 ⋅ c o s 3 x = 7 ⋅ s e c ( 7 ⋅ 0 ) 3 ⋅ c o s ⁡ ( 3 ⋅ 0 )

Como tanto a secante de zero quanto o cosseno de zero são iguais a 1 , o limite se torna:

lim x → 0 ⁡ tan ⁡ 7 x s e n 3 x = lim x → 0 ⁡ 7 ⋅ sec ⁡ 7 x 3 ⋅ c o s 3 x = 7 ⋅ s e c ( 7 ⋅ 0 ) 3 ⋅ c o s ⁡ ( 3 ⋅ 0 ) = 7 ⋅ s e c ( 0 ) 3 ⋅ c o s ⁡ ( 0 ) = 7 ⋅ 1 3 ⋅ 1 = 7 3

Chegamos então no valor do limite final!

Passo 3

Já vencemos a letra “a” e agora precisamos fazer o limite da letra “b”:

lim r → ∞ ⁡ r 2 - 3 2 r 3

Dica suprema: sempre que temos um polinômio no numerador e no denominador, coloque o maior expoente em evidência e corte tanto do numerador quando do denominador!

lim r → ∞ ⁡ r 3 r 2 r 3 - 3 r 3 2 r 3 = l i m r → ∞ 1 r - 3 r 3 2

Agora vamos substituir o valor do limite r = ∞ na expressão:

lim r → ∞ ⁡ 1 r - 3 r 3 2 = 1 ∞ - 3 ∞ 3 2

Você concorda comigo que se temos uma divisão entre um número e o infinito, o resultado é igual a zero:

lim r → ∞ ⁡ 1 r - 3 r 3 2 = 1 ∞ - 3 ∞ 3 2 = 0 - 0 2 = 0

Chegamos então a um resultado bonitinho!

Vamos para a última parte!

Passo 4

Olhando para esse último item, ele nos pede:

“Um intervalo de comprimento igual a 1 que contém uma raiz de f x = x 5 + x + 1

Te deu medo? Não fique assim, a chave dessa questão é perceber que quando ele nos fala de um intervalo que contenha uma raiz dessa equação, você deve pensar que existe um número para x nessa equação que seja igual a zero:

f x r a i z = x r a i z 5 + x r a i z + 1 = 0

E ele quer saber qual é esse intervalo:

Concorda comigo que se é um intervalo que contém no meio dele o valor de zero, então para valores entre que x r a i z e x m i n , a função assume valores menores que zero, enquanto para valores de x entre x r a i z e x m á x , a função assume valores maiores que zero:

Isso equivale ao Teorema do Valor Intermediário!

Passo 5

Então, como ele nos pede que o comprimento do intervalo seja igual a 1 , então:

x m á x - x m i n = 1

Como a expressão da função é:

f x = x 5 + x + 1

Qual é o menor x que podemos usar para encontrar um valor positivo para essa expressão? Veja que se todos os valores de x forem iguais a zero, teremos uma função igual a 1 :

f 0 = 0 5 + 0 + 1 = 1

Nosso resultado é um valor positivo para a expressão!

Beleza, agora perceba que como o x nessa expressão é elevado a quinta potência, se colocamos um valor negativo nesse lugar, então o resultado é negativo, então qual valor de x negativo que podemos usar? Bom, se queremos um comprimento de intervalo igual a 1 , então precisamos usar:

x = 0 - 1 = - 1

Substituindo:

f - 1 = ( - 1 ) 5 + - 1 + 1 = - 1 - 1 + 1 = - 1

Logo encontramos um valor para o qual a função é negativa!

Veja como fica o nosso esquema:

Logo, nossa resposta é o intervalo ( 0,1 ) !

Resposta

  1. 7 3

  2. 0

( 0,1 )

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre o limite. Use a Regra de L’Hospital onde for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê. lim θ → π / 2⁡ 1 - s e n ( θ
Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
Use Lh’ospital o limite underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x + s e n x)
Calculel) underset(x - 0)(lim) (t g 3 x - s e n x)/(s e n^3 x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x)