Calculo 1 – UFPE – 2° EE
Calcule os seguintes limites, identificando o tipo de indeterminação, caso existam:
Passo 1
Sempre vamos começar uma questão de limites substituindo o valor que tende, para verificarmos se há uma indeterminação ou não. Somente depois de verificado é que podemos discutir o que fazer. Portanto,
Agora sim. Temos uma indeterminação do tipo .
Como chegamos a uma indeterminação deste tipo, vamos utilizar a regra de L’Hospital para resolver o problema (também poderia ser utilizado se a indeterminação fosse do tipo ).
A regra de L’Hospital nos diz que:
Isto é, podemos pegar a função do numerador ( para esta questão) e do denominador ( para esta questão), derivarmos separadamente e depois fazer a divisão da derivada do numerador pela derivada do denominador.
É claro que isto só pode ser feito se houver uma indeterminação do tipo ou , conforme foi checado anteriormente. Caso isto não aconteça, temos que fazer alguma operação para que isto aconteça.
Passo 2
Bom, agora que confirmamos que podemos aplicar a regra de L’Hospital, vamos aplica-la. Começaremos derivando o numerador e o denominador. Portanto, se o numerador é , aplicando a regra da cadeia, temos:
Lembrando a vocês, a derivada da função mais fora , que é , aplicada a função de dentro , vezes a derivada da função de dentro , que é 2x.
Agora, vamos derivar o numerador. Se ele é , então,
Portanto, o nosso limite
Agora, temos que substituir o valor na nossa nova função para verificar se haverá outra indeterminação (o que resultaria em uma nova regra de L’Hospital), ou se a gente já conseguiria obter algum resultado.
Portanto, vamos substituir e ver o que que acontece com o nosso limite.
Eita, nova indeterminação! Temos que utilizar novamente a regra de L’Hospital.
Passo 3
Para aplicar novamente a regra de L’Hospital, vamos ter de derivar o numerador e o denominador. Derivando o nosso novo denominador , temos .
Já para o denominador , vamos aplicar a regra do produto. Portanto,
Lembrando a regra do produto, derivada do primeiro termo vezes o segundo termo mais derivada do segundo termo vezes o primeiro.
Substituindo esta relação no nosso limite, temos:
Agora, podemos substituir o valor de e verificar a nossa resposta. Logo,
Portanto, a resposta do nosso limite é: