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Exercícios Resolvidos de Regra de L’Hospital – Indeterminação ∞/∞ e 0/0

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Enunciado

1b) Calcule os seguintes limites, identificando o tipo de indeterminação, caso exista

lim x → + ∞ ⁡ x ln ⁡ x - 1 x + 1

Passo 1

Olha só, pra enxergar se esse limite tem ou não uma indeterminação, vamos primeiro dar uma manipuladazinha:

lim x → + ∞ ⁡ x ln ⁡ x - 1 x + 1 = lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ x - 1 x + 1 1 x

Dessa forma, pelas propriedades dos limites, podemos fazer:

lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ x - 1 x + 1 1 x = lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ x - 1 x + 1 lim x → + ∞ ⁡ 1 x = ln ⁡ lim x → + ∞ ⁡ x - 1 x + 1 lim x → + ∞ ⁡ 1 x = ln ⁡ lim x → + ∞ ⁡ x 1 - 1 x x 1 + 1 x lim x → + ∞ ⁡ 1 x = ln ⁡ lim x → + ∞ ⁡ 1 - 1 x 1 + 1 x lim x → + ∞ ⁡ 1 x

Substituindo pra ver o que acontece, temos:

ln ⁡ lim x → + ∞ ⁡ 1 - 1 x 1 + 1 x lim x → + ∞ ⁡ 1 x = ln ⁡ 1 - 0 1 + 0 0 = ln ⁡ 1 0 = 0 0

Opa! Indeterminação! E do tipo 0 0 ! Vamos ter que fazer algo pra sumir com essa indeterminação antes de resolver o limite!

Passo 2

Pra nossa sorte, essa indeterminação é uma das cláaassicas de L’Hospital. Então se realizarmos LH derivando em cima e em baixo, a indeterminação pode sumir! Partiu então:

lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ x - 1 x + 1 1 x = lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ x - 1 x + 1 ' 1 x ' = lim x → + ∞ ⁡ 1 x - 1 x + 1 x - 1 x + 1 ' - 1 x 2 =

= lim x → + ∞ ⁡ x + 1 x - 1 x - 1 ' x + 1 - x - 1 x + 1 ' x + 1 2 - 1 x 2 = lim x → + ∞ ⁡ x + 1 x - 1 x + 1 - x - 1 x + 1 2 - 1 x 2

Continuando:

lim x → + ∞ ⁡ x + 1 x - 1 x + 1 - x - 1 x + 1 2 - 1 x 2 = lim x → + ∞ ⁡ x + 1 x - 1 x + 1 - x + 1 x + 1 2 - 1 x 2 = lim x → + ∞ ⁡ x + 1 x - 1 2 x + 1 2 - 1 x 2 = lim x → + ∞ ⁡ 1 x - 1 2 x + 1 - 1 x 2

= lim x → + ∞ ⁡ 2 x 2 - 1 - 1 x 2 = lim x → + ∞ ⁡ - 2 x 2   x 2 - 1

E resolvendo isso pela técnica de cálculo de limites de quociente de funções com x → ∞ , ficamos com:

lim x → + ∞ ⁡ - 2 x 2   x 2 - 1 = lim x → + ∞ ⁡ - x 2 2   x 2 1 - 1 x 2 = lim x → + ∞ ⁡ - 2   1 - 1 x 2

lim x → + ∞ ⁡ - 2   1 - 1 x 2 = - 2   1 - 0 = - 2

Fechamos então!

Resposta

I n d e t e r m i n a ç ã o   d o   t i p o 0 0

lim x → + ∞ ⁡ x ln ⁡ x - 1 x + 1 = - 2

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Encontre o limite. Use a Regra de L’Hospital onde for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê. lim θ → π / 2⁡ 1 - s e n ( θ
Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
Use Lh’ospital o limite underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x + s e n x)
Calculel) underset(x - 0)(lim) (t g 3 x - s e n x)/(s e n^3 x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x)