Encontre, se existirem, as assíntotas horizontas e verticais do gráfico da função.
Passo 1
Acho válido antes de partirmos para o vamos ver, dar uma relembrada nessas assíntotas. Sabemos que assíntotas são retas (verticais ou horizontais). Essas retas tem uma característica de a função sempre se aproximarem dela, mas nuca encostar-se a elas.
Exemplo de assíntotas:
Para checar as possíveis assíntotas verticais, sempre buscamos um ponto onde a função pode dar problema, como no exemplo esse ponto é o . E depois calculamos o limite de tendendo a esse ponto: se for pro infinito, aí sim temos uma assíntota vertical!
E pra checar as assíntotas horizontais, calculamos o limite da função indo para os infinitos. Se ela der um número então esse número será a assíntota (nesse exemplo aí, a assíntota horizontal é o .
Passo 2
Então primeiro calculemos as assíntotas verticais. Sabemos que a função que queremos no nosso caso...
Como o denominador não pode ser ...
Então é o nosso primeiro ponto a averiguar (então averiguemos tanto do lado direito quanto do lado esquerdo)...
e também
Passo 3
Para resolver esses limites, apenas note que quando vai para pela direita...
Esse limite é o mesmo que se fizermos apenas o limite do denominador...
Usando a tática de colocar o produto como uma fração, já que quando vai a , vai para o infinito tendo então uma indefinição do tipo ...
Agora, temos uma indefinição do tipo , do qual conseguimos aplicar L’hopital:
Voltando com o limite para a fração inteira....
Então concluímos que aquele limite Bizarro do inicio que queremos, é igual a esse limite bizarro:
Passando para um lado só...
Separando o limite desse produto...
Sabemos que quando vai a , esse segundo limite vai a , então:
Viu só? Chagamos de forma indireta ao resultado ! Normalmente conseguimos fazer isso quando o resultado do limite ficou bem parecido como o original, como nessa etapa acima:
Passo 4
Como o limite quando vai a é um número e não ao infinito, não existe assíntotas verticais.
Passo 5
Agora então, busquemos as assíntotas horizontais (se existirem). Para isso, basta a gente aplicar o limite de no infinito. Se aparecer algum número, esse número é a assíntota, saca?
Esse limite, quando vai ao infinito positivo, a exponencial basicamente vai a (pois o expoente vai a . Como o denominador é o e vaia para o infinito...
O mesmo acontece quando vai para o infinito negativo....
Logo, é uma assíntota horizontal! ;)
Resposta
Assíntota horizontal: