Resolva as indeterminações abaixo usando a Regra de L'Hospital.

c )   l i m x → ∞ l n   x x

Passo 1

Olá pessoal, como vai a vida? Espero que esteja bem! Vamos pra mais uma questão??

Bom essa questão quer que resolvamos o item c e os seguintes a partir da Regra L’Hospital . Vocês lembram de como é essa regra??

A regra de L’Hospital consiste em um recurso para fugir de indeterminações do tipo 0 0 ou ∞ ∞ .

E o recurso consiste na ideia de que sejam f   e   g duas funções contínuas num intervalo I , deriváveis no interior de I , tais que g ' ( x )   ≠   0 para todo x no interior de I . Seja a   ∈   I e suponha-se que f ( a ) = g ( a )   =   0 e que existe l i m x → a f ' ( x ) g ' ( x )   . Portanto, pode-se afirmar que

l i m x → a f ( x ) g ( x )   = l i m x → a f ' ( x ) g ' ( x )  

Nesse caso o que muda na nossa questão é que temos o x tendendo a . Entretanto, podemos aplicar a regra da mesma forma.

Tudo bem? Quanto mais praticarmos menos estranho vai ficar essa regra. Bora lá!

Passo 2

O nosso item quer saber qual é o limite de l n   x x quando o x tender a . Então primeiro vamos chamar de f ( x )   =   l n   x   e g ( x )   = x   .

Assim, para utilizarmos a regra de L’Hospital deveremos encontrar a derivada das funções f ( x )   e   g ( x ) .

f ' ( x )   = 1 x  

g ' ( x )   = 1  

Derivadas já encontradas, agora basta aplicar a regra.

Passo 3

De acordo com a Regra de L’Hospital:

l i m x → a f ( x ) g ( x )   = l i m x → a f ' ( x ) g ' ( x )  

Sendo f ' ( x ) e g ' ( x ) :

f ' ( x )   = 1 x  

g ' ( x )   = 1  

Assim, utilizando os dados do nosso item, temos que:

l i m x → ∞ l n   x x = 1 x 1   =   1 x =   1 ∞ = 0  

Importante!!!

Quando temos um número dividido por outro bem maior que ele, como o , esse número vai tender a 0 .

Basta fazer a analogia com uma pizza, a cada vez que mais crianças chegam na pizzaria em menores pedaços será divida a pizza com o objetivo que de todas as crianças comam um pouco da pizza. Caso cheguem “infinitas” crianças a pizza será divida em pedaços minúsculos, ou seja, cada criança vai comer praticamente nada daquela pizza.

Resposta

l i m x → ∞ l n   x x   =   0

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre o limite. Use a Regra de L’Hospital onde for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê. lim θ → π / 2⁡ 1 - s e n ( θ
Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
Use Lh’ospital o limite underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x + s e n x)
Calculel) underset(x - 0)(lim) (t g 3 x - s e n x)/(s e n^3 x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x)